Introdução à Teoria dos Números

Descrição

A obra é estruturada para oferecer ao leitor uma introdução abrangente, mas profunda, aos conceitos fundamentais da teoria dos números. Desde tópicos clássicos, como divisibilidade e propriedades dos números primos, até discussões mais avançadas sobre funções aritméticas, congruências e o teorema de Fermat, o autor consegue equilibrar teoria e prática de maneira exemplar.

Pontos de Destaque:

• Abordagem Didática: José Plínio utiliza exemplos claros e exercícios bem elaborados para auxiliar o aprendizado e reforçar os conceitos apresentados.
• Cobertura Abrangente: O livro aborda temas fundamentais como divisores, máximos divisores comuns, números primos, congruências e aritmética modular.
• Progresso Gradual: Os capítulos são organizados de forma progressiva, guiando o leitor desde os fundamentos até questões mais complexas da teoria dos números.
• Rigor Matemático: Mesmo sendo introdutório, o livro não compromete o rigor, oferecendo demonstrações detalhadas e aplicações práticas que conectam a teoria à realidade.

Além de seu conteúdo didático, o livro se destaca por explorar a beleza e profundidade dos números de uma forma que inspira curiosidade e admiração. José Plínio combina rigor com acessibilidade, tornando o texto ideal tanto para iniciantes quanto para aqueles que desejam revisar e aprofundar seus conhecimentos.

A teoria dos números, conhecida como “a rainha da matemática”, encontra nesta obra uma introdução à altura de sua importância histórica e acadêmica. Desde conceitos elementares, como a fatoração de inteiros, até tópicos mais avançados que conectam teoria a outras áreas da matemática, o livro fornece as bases necessárias para compreender e apreciar essa área de estudo.

Por que ler este livro?

• Ideal para Estudantes: A linguagem acessível e a progressão gradual tornam-no perfeito para quem está começando.
• Recurso para Professores: Pode ser usado como material de referência em cursos de graduação ou para revisões.
• Amplo Apelo: Além de acadêmicos, curiosos pela matemática encontrarão nele um texto envolvente e esclarecedor.

Sobre o autor
José Plínio de Oliveira Santos é um renomado matemático brasileiro, com vasta experiência acadêmica e profissional na área da teoria dos números. Professor aposentado do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), dedicou décadas de sua carreira ao ensino e pesquisa, consolidando-se como uma referência na comunidade matemática do Brasil. Autor de diversas publicações científicas e livros didáticos, é amplamente reconhecido por sua contribuição à formação de novas gerações de matemáticos e pela clareza com que apresenta temas complexos. Sua paixão pela matemática e pelo ensino transparece em cada página de suas obras.

Introdução à Teoria dos Números de José Plínio de Oliveira Santos é um clássico da literatura matemática brasileira, ideal para quem deseja compreender as ideias fundamentais da teoria dos números. Seja para estudo, ensino ou simples apreciação da beleza da matemática, este livro é uma escolha indispensável.

Este é um livro essencial para quem deseja mergulhar no universo dos números e explorar suas propriedades intrigantes e aplicações práticas.

Sumário

1 Divisibilidade
1.1  Indução
1.2  Divisibilidade
1.3  O Algoritmo da Divisão
1.4  O Máximo Divisor Comum
1.5  O Algoritmo de Euclides
1.6  Números Primos
1.7  Mínimo Múltiplo Comum
1.8  Critérios de Divisibilidade
1.9  Problemas Resolvidos
1.10  Problemas Propostos

2 Congruência
2.1  Congruência
2.2  Congruência Linear
2.3  Os Teoremas de Euler, Fermat e Wilson
2.4  O Teorema do Resto Chinês
2.5  Problemas Resolvidos
2.6  Problemas Propostos

3 Teoria Combinatória dos Números
3.1  Princípio da Casa dos Pombos
3.2  Generalizações – Exemplos
3.3  Demonstração Combinatória do Teorema de Wilson
3.4  Problemas Propostos

4 Funções Aritméticas
4.1  Funções Aritméticas
4.2  A Função Φ de Euler
4.3  A Função μ de Möbius
4.4  A Função Maior Inteiro
4.5  Uma Relação Entre as Funções Φ e μ
4.6  Números Perfeitos
4.7  Recorrência e Números de Fibonacci
4.8  Problemas Resolvidos
4.9  Problemas Propostos

5 Resíduos Quadráticos
5.1  Resíduos Quadráticos
5.2  Símbolo de Legendere e o Critério de Euler
5.3  Lema de Gauss
5.4  Lei de Reciprocidade Quadrática
5.5  Símbolo de Jacobi
5.6  Problemas Resolvidos
5.7  Problemas Propostos

6 Raízes Primitivas
6.1  Raízes Primitivas
6.2  Raízes Primitivas módulo p^t
6.3  Raízes Primitivas Módulo 2p^t
6.4  Somente 1, 2, 4, p^t, 2p^t Possuem Raízes Primitivas
6.5  Problemas Resolvidos
6.6  Problemas Propostos

7 Representação de Inteiros como Soma de Quadrados
7.1  O Problema de Waring
7.2  Soma de Dois Quadrados
7.3  Soma de Quatro Quadrados
7.4  Um Teorema de Unicidade de Euler
7.5  Problemas Resolvidos
7.6  Problemas Propostos

8 Frações Contínuas
8.1  Definição – Notação
8.2  Convergentes
8.3  Aproximações Sucessivas
8.4  Propriedades dos Convergentes
8.5  Problemas Resolvidos
8.6  Problemas Propostos

9 Partições
9.1  Partições
9.2  Gráfico de uma partição
9.3  Funções Geradoras
9.4  Problemas Resolvidos
9.5  Problemas Propostos

A Os Princípios da Boa Ordem e da Indução Finita
B Sobre a Infinitude dos Primos
C O Postulado de Bertrand

Bibliografia
Índice