Descrição
Conteúdo e Tópicos Abordados
O Curso de Análise Vol.2 de Elon Lages Lima apresenta um estudo aprofundado das funções de várias variáveis reais, com uma abordagem que equilibra rigor matemático e clareza didática. A obra está estruturada em sete capítulos cuidadosamente organizados para guiar o leitor através dos conceitos mais complexos da análise matemática:
O livro inicia com a Topologia do Espaço Euclidiano, estabelecendo as bases necessárias para compreender os conceitos geométricos fundamentais. Neste capítulo, o autor explora desde o espaço vetorial Rn, produto interno e norma, até conceitos mais avançados como conjuntos compactos, conexidade e a norma de transformações lineares.
No segundo capítulo, Caminhos no Espaço Euclidiano, Lima apresenta os fundamentos dos caminhos diferenciáveis, integrais de caminhos e teoremas clássicos do cálculo, além de explorar conceitos como curvatura, torção e a função-ângulo, essenciais para a compreensão geométrica do espaço.
O terceiro capítulo aborda as Funções Reais de n Variáveis, tratando desde derivadas parciais e direcionais até o teorema da função implícita e o método dos multiplicadores de Lagrange. Este capítulo é fundamental para estudantes que desejam dominar o cálculo diferencial em múltiplas dimensões.
As Integrais Curvilíneas, tema do quarto capítulo, exploram formas diferenciais, integrais de Stieltjes, homotopia e a fórmula de Kronecker, conectando conceitos de análise e topologia de maneira elegante e rigorosa.
No quinto capítulo, Aplicações Diferenciáveis, o autor apresenta desde a diferenciabilidade de aplicações até superfícies orientáveis e o método dos multiplicadores de Lagrange, fornecendo ferramentas essenciais para a resolução de problemas práticos e teóricos.
O sexto capítulo, dedicado às Integrais Múltiplas, aborda desde a definição de integral até mudanças de variáveis, passando por conjuntos de medida nula e caracterização das funções integráveis.
Finalmente, o sétimo capítulo sobre Integrais de Superfície explora formas alternadas, formas diferenciais, o Teorema de Stokes e o grau de uma aplicação, culminando com a integral de Kronecker. Este capítulo representa o ápice da obra, conectando todos os conceitos anteriores em uma síntese magistral.
Cada capítulo é enriquecido com exercícios cuidadosamente selecionados que desafiam o leitor a aplicar os conceitos aprendidos, permitindo uma compreensão mais profunda e consolidada dos temas abordados.
Público-Alvo
Este volume é direcionado especificamente para:
- Estudantes universitários de cursos de Matemática, Física, Engenharia e áreas afins que estejam cursando disciplinas avançadas de Cálculo e Análise Matemática
- Professores universitários que buscam material de referência para preparação de aulas e pesquisa
- Profissionais que utilizam matemática avançada em suas atividades, como engenheiros, físicos e economistas
- Pesquisadores em áreas que requerem conhecimento sólido de análise matemática
- Participantes de programas de pós-graduação como o Profmat (Mestrado Profissional em Matemática)
- Entusiastas da matemática com formação prévia em cálculo diferencial e integral de uma variável
A obra exige conhecimentos prévios de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável e noções básicas de Álgebra Linear, sendo ideal para quem já concluiu o primeiro volume do Curso de Análise ou possui formação equivalente.
Sobre o Autor: Elon Lages Lima
Elon Lages Lima (1929-2017) foi um dos mais importantes matemáticos brasileiros, com contribuições significativas para o desenvolvimento da matemática no Brasil. Nascido em Maceió, Alagoas, formou-se pela Universidade Federal do Rio de Janeiro e obteve seu doutorado na Universidade de Chicago, sob orientação de Edwin Spanier.
Como pesquisador e professor do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Elon Lages Lima formou gerações de matemáticos brasileiros e foi responsável pela criação do Projeto Euclides, uma coleção de livros didáticos de alta qualidade para o ensino de matemática no Brasil.
Sua obra “Curso de Análise” é considerada um clássico da literatura matemática brasileira, sendo adotada em diversas universidades do país há mais de quatro décadas. O rigor matemático aliado à clareza didática fez de Elon Lages Lima uma referência incontornável no ensino da matemática avançada no Brasil.
Além de sua contribuição acadêmica, Lima foi membro da Academia Brasileira de Ciências e recebeu diversos prêmios e honrarias, incluindo a Ordem Nacional do Mérito Científico na classe Grã-Cruz.
Sumário
1 Topologia do Espaço Euclidiano
1.1 O espaço vetorial Rn
1.2 Produto interno e norma
1.3 Números complexos
1.4 Bolas e conjuntos limitados
1.5 Sequências no espaço euclidiano
1.6 Pontos de acumulação
1.7 Aplicações contínuas
1.8 Homeomorfismos
1.9 Limites
1.10 Conjuntos abertos
1.11 Conjuntos fechados
1.12 Conjuntos compactos
1.13 Distância entre dois conjuntos; diâmetro
1.14 Conexidade
1.15 A norma de uma transformação linear
2 Caminhos no Espaço Euclidiano
2.1 Caminhos diferenciáveis
2.2 Integral de um caminho
2.3 Os teoremas clássicos do Cálculo
2.4 Caminhos retificáveis
2.5 O comprimento de arco como parâmetro
2.6 Curvatura e torção
2.7 A função-ângulo
3 Funções Reais de n Variáveis
3.1 Derivadas parciais
3.2 Derivadas direcionais
3.3 Funções diferenciáveis
3.4 A diferencial de uma função
3.5 O gradiente de uma função diferenciável
3.6 A Regra de Leibniz
3.7 O Teorema de Schwarz
3.8 Fórmula de Taylor: pontos críticos
3.9 O teorema da função implícita
3.10 Multiplicador de Lagrange
4 Integrais Curvilíneas
4.1 Formas diferenciais de grau 1
4.2 Integral de Stieltjes
4.3 Integral de uma forma ao longo de um caminho
4.4 Justaposição de caminhos: caminho inverso
4.5 Integral curvilínea de um campo de vetores e de uma função
4.6 Formas exatas e formas fechadas
4.7 Homotopia
4.8 Integrais curvilíneas e homotopia
4.9 Cohomologia
4.10 A fórmula de Kronecker
5 Aplicações Diferenciáveis
5.1 Diferenciabilidade de uma aplicação
5.2 Exemplos de aplicações diferenciáveis
5.3 A regra da cadeia
5.4 A fórmula de Taylor
5.5 A desigualdade do valor médio
5.6 Sequências de aplicações diferenciáveis
5.7 Aplicações fortemente diferenciáveis
5.8 O teorema da aplicação inversa
5.9 Aplicação: o Lema de Morse
5.10 A forma local das imersões
5.11 A forma local das submersões
5.12 O teorema do posto
5.13 Superfícies no espaço euclidiano
5.14 Superfícies orientáveis
5.15 O método dos multiplicadores de Lagrange
6 Integrais Múltiplas
6.1 A definição de integral
6.2 Conjuntos de medida nula
6.3 Caracterização das funções integráveis
6.4 A integral como limite de somas de Riemann
6.5 Integração repetida
6.6 Mudança de variáveis
7 Integrais de Superfície
7.1 Formas alternadas
7.2 Formas diferenciais
7.3 A diferencial exterior
7.4 Partições da unidade
7.5 Aplicações da partição da unidade
7.6 Integrais de superfície
7.7 Superfícies com bordo
7.8 O Teorema de Stokes
7.9 Grau de uma aplicação
7.10 A integral de Kronecker
Bibliografia
Índice Remissivo
Benefícios e Diferenciais da Compra
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Mariana –
Elon Lages Lima nos brinda com um livro profundo e detalhado sobre análise em várias variáveis. A abordagem da topologia e das integrais múltiplas é feita de forma acessível, mas ao mesmo tempo mantém o rigor necessário para estudantes avançados. Um excelente material para se ter sempre à mão durante os estudos!
Roberto Farias –
O ‘Curso de Análise – Volume 2 é simplesmente indispensável! O conteúdo é denso, mas a explicação é tão clara que torna o aprendizado dos tópicos avançados, como o Teorema de Stokes e integrais de superfície, muito mais acessível. Um verdadeiro guia para quem busca um entendimento mais completo da análise matemática
Henrique Mendes –
O livro ‘Curso de Análise – Vol. 2 (12ª edição)’ de Elon Lages Lima é absolutamente fantástico! A clareza didática e a profundidade com que o autor aborda os temas fazem dele uma leitura indispensável para estudantes de matemática. Os tópicos avançados são tratados com rigor e exemplos bem escolhidos, o que facilita a compreensão. Sem dúvida, uma obra essencial para quem deseja aprofundar seus conhecimentos em análise!