Descrição
Com uma abordagem clara e detalhada, o livro inicia com a topologia do espaço euclidiano, estabelecendo as bases necessárias para a compreensão dos conceitos geométricos que virão. A partir daí, Lima apresenta as funções de várias variáveis, suas derivações parciais e direcionais, e culmina no estudo das integrais curvilíneas e múltiplas. O autor dedica também uma seção significativa ao Teorema de Stokes e à teoria do grau topológico, encerrando o livro com uma discussão sobre integrais de superfície e a fórmula de Kronecker.
Além dos aspectos matemáticos, Elon Lages Lima enriquece a obra com a história por trás dos conceitos, explorando como grandes matemáticos como Gauss, Riemann e Kronecker contribuíram para o desenvolvimento da topologia diferencial e análise. Essa contextualização histórica torna o livro não apenas uma ferramenta de estudo, mas também uma oportunidade para entender a evolução das ideias matemáticas.
Os exercícios presentes no final de cada capítulo são desafiadores e estimulam o leitor a aplicar os conceitos aprendidos, permitindo uma compreensão mais profunda dos temas abordados. As conexões com outras áreas da matemática, como álgebra e geometria, também são exploradas, fazendo deste volume um recurso valioso tanto para estudantes quanto para professores.
Em resumo, Curso de Análise – Volume 2 é um livro essencial para quem deseja dominar a análise avançada. A combinação de clareza didática, rigor matemático e exercícios práticos faz deste volume uma referência indispensável para o estudo de funções de várias variáveis e suas aplicações.
Sumário
1 Topologia do Espaço Euclidiano
1.1 O espaço vetorial Rn
1.2 Produto interno e norma
1.3 Números complexos
1.4 Bolas e conjuntos limitados
1.5 Sequências no espaço euclidiano
1.6 Pontos de acumulação
1.7 Aplicações contínuas
1.8 Homeomorfismos
1.9 Limites
1.10 Conjuntos abertos
1.11 Conjuntos fechados
1.12 Conjuntos compactos
1.13 Distância entre dois conjuntos; diâmetro
1.14 Conexidade
1.15 A norma de uma transformação linear
2 Caminhos no Espaço Euclidiano
2.1 Caminhos diferenciáveis
2.2 Integral de um caminho
2.3 Os teoremas clássicos do Cálculo
2.4 Caminhos retificáveis
2.5 O comprimento de arco como parâmetro
2.6 Curvatura e torção
2.7 A função-ângulo
3 Funções Reais de n Variáveis
3.1 Derivadas parciais
3.2 Derivadas direcionais
3.3 Funções diferenciáveis
3.4 A diferencial de uma função
3.5 O gradiente de uma função diferenciável
3.6 A Regra de Leibniz
3.7 O Teorema de Schwarz
3.8 Fórmula de Taylor: pontos críticos
3.9 O teorema da função implícita
3.10 Multiplicador de Lagrange
4 Integrais Curvilíneas
4.1 Formas diferenciais de grau 1
4.2 Integral de Stieltjes
4.3 Integral de uma forma ao longo de um caminho
4.4 Justaposição de caminhos: caminho inverso
4.5 Integral curvilínea de um campo de vetores e de uma função
4.6 Formas exatas e formas fechadas
4.7 Homotopia
4.8 Integrais curvilíneas e homotopia
4.9 Cohomologia
4.10 A fórmula de Kronecker
5 Aplicações Diferenciáveis
5.1 Diferenciabilidade de uma aplicação
5.2 Exemplos de aplicações diferenciáveis
5.3 A regra da cadeia
5.4 A fórmula de Taylor
5.5 A desigualdade do valor médio
5.6 Sequências de aplicações diferenciáveis
5.7 Aplicações fortemente diferenciáveis
5.8 O teorema da aplicação inversa
5.9 Aplicação: o Lema de Morse
5.10 A forma local das imersões
5.11 A forma local das submersões
5.12 O teorema do posto
5.13 Superfícies no espaço euclidiano
5.14 Superfícies orientáveis
5.15 O método dos multiplicadores de Lagrange
6 Integrais Múltiplas
6.1 A definição de integral
6.2 Conjuntos de medida nula
6.3 Caracterização das funções integráveis
6.4 A integral como limite de somas de Riemann
6.5 Integração repetida
6.6 Mudança de variáveis
7 Integrais de Superfície
7.1 Formas alternadas
7.2 Formas diferenciais
7.3 A diferencial exterior
7.4 Partições da unidade
7.5 Aplicações da partição da unidade
7.6 Integrais de superfície
7.7 Superfícies com bordo
7.8 O Teorema de Stokes
7.9 Grau de uma aplicação
7.10 A integral de Kronecker
Bibliografia
Índice Remissivo
Mariana –
Elon Lages Lima nos brinda com um livro profundo e detalhado sobre análise em várias variáveis. A abordagem da topologia e das integrais múltiplas é feita de forma acessível, mas ao mesmo tempo mantém o rigor necessário para estudantes avançados. Um excelente material para se ter sempre à mão durante os estudos!
Roberto Farias –
O ‘Curso de Análise – Volume 2 é simplesmente indispensável! O conteúdo é denso, mas a explicação é tão clara que torna o aprendizado dos tópicos avançados, como o Teorema de Stokes e integrais de superfície, muito mais acessível. Um verdadeiro guia para quem busca um entendimento mais completo da análise matemática
Henrique Mendes –
O livro ‘Curso de Análise – Vol. 2 (12ª edição)’ de Elon Lages Lima é absolutamente fantástico! A clareza didática e a profundidade com que o autor aborda os temas fazem dele uma leitura indispensável para estudantes de matemática. Os tópicos avançados são tratados com rigor e exemplos bem escolhidos, o que facilita a compreensão. Sem dúvida, uma obra essencial para quem deseja aprofundar seus conhecimentos em análise!