Descrição
O objetivo principal deste livro é servir como um texto introdutório para um primeiro curso de Análise Matemática. Os assuntos nele tratados são expostos de maneira simples e direta, evitando-se maiores digressões. Assim, espera-se facilitar o trabalho do professor que, ao adotá-lo, não precisará perder muito tempo selecionando os tópicos que ensinará e os que vai omitir.
Turmas especiais, estudantes com mais experiência, leitores que desejem uma apresentação mais completa ou alunos em busca de leituras complementares poderão consultar o “Curso de Análise”, vol. 1, que trata de matéria semelhante sob forma mais abrangente e é aproximadamente duas vezes mais longo.
Estrutura Organizada e Conteúdo Completo
O livro está organizado de maneira lógica, dividido em capítulos que abrangem os conceitos básicos da análise matemática:
- Capítulo 1 – Conjuntos Finitos e Infinitos: Estabelecimento com precisão da diferença entre conjunto finito e infinito. Será feita também a distinção entre conjunto enumerável e conjunto não-enumerável.
- Capítulo 2 – Números Reais: Este capítulo reforça a abordagem, introduzindo conceitos como a fixação da linguagem matemática, regras da Lógica Matemática, aproximação, erro e a noção de cálculo aproximado.
- Capítulo 3 – Sequências de Números Reais: Um dos pontos fortes deste livro é o tratamento detalhado das sequências, mostrando sua utilidade tanto do ponto de vista conceitual quanto computacional.
- Capítulo 4 – Séries Numéricas: Discute séries convergentes, absolutamente convergentes e testes de convergência.
- Capítulo 5 – Algumas Noções Topológicas: Aborda conjuntos abertos, fechados, pontos de acumulação e compactos.
- Capítulo 6 – Limites de Funções: Apresenta definição e primeiras propriedades de limites, limites laterais e comportamento assintótico.
- Capítulo 7 – Funções Contínuas: Define funções contínuas e suas propriedades, incluindo funções contínuas num intervalo e em conjuntos compactos.
- Capítulo 8 – Derivadas: Introduz a noção de derivada e regras operacionais.
- Capítulo 9 – Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada: Explora a fórmula de Taylor e aplicações, como funções convexas e côncavas.
- Capítulo 10 – A Integral de Riemann: Revisão sobre supremo e ínfimo, integral de Riemann e propriedades da integral.
- Capítulo 11 – Cálculo com Integrais: Os teoremas clássicos do Cálculo Integral, integrais impróprias e logaritmos e exponenciais.
- Capítulo 12 – Sequências e Séries de Funções: Convergência simples e uniforme, séries de potências e funções trigonométricas.
Exercícios e Demonstrações
Um aspecto notável deste livro é a inclusão de 268 exercícios, que não só ajudam na fixação dos conteúdos, mas também incentivam o desenvolvimento de alguns temas esboçados no texto e como oportunidade para o leitor verificar se realmente entendeu o que acabou de ler. Soluções de 194 desses exercícios, de forma completa ou resumida, são apresentadas no capítulo final.
Abordagem Conceitual e Rigor Matemático
Elon Lages Lima prioriza o desenvolvimento de habilidades conceituais sobre a execução de algoritmos. Em um mundo onde recursos computacionais avançados estão disponíveis, ele enfatiza a importância de entender criticamente os resultados obtidos com o auxílio de ferramentas computacionais.
As demonstrações matemáticas são apresentadas não apenas como provas formais, mas como exemplos do processo de obtenção de resultados matemáticos.
Sumário
1 Conjuntos Finitos e Infinitos
1 Números naturais
2 Conjuntos finitos
3 Conjuntos infinitos
4 Conjuntos enumeráveis
5 Exercícios
2 Números Reais
1 R é um corpo
2 R é um corpo ordenado
3 R é um corpo ordenado completo
4 Exercícios
3 Sequências de Números Reais
1 Limite de uma sequência
2 Limites e desigualdades
3 Operações com limites
4 Limites infinitos
5 Exercícios
4 Séries Numéricas
1 Séries convergentes
2 Séries absolutamente convergentes
3 Testes de convergência
4 Comutatividade
5 Exercícios
5 Algumas Noções Topológicas
1 Conjuntos abertos
2 Conjuntos fechados
3 Pontos de acumulação
4 Conjuntos compactos
5 O conjunto de Cantor
6 Exercícios
6 Limites de Funções
1 Definição e primeiras propriedades
2 Limites laterais
3 Limites no infinito, limites infinitos, expressões indeterminadas
4 Exercícios
7 Funções Contínuas
1 Definição e primeiras propriedades
2 Funções contínuas num intervalo
3 Funções contínuas em conjuntos compactos
4 Continuidade uniforme
5 Exercícios
8 Derivadas
1 A noção de derivada
2 Regras operacionais
3 Derivada e crescimento local
4 Funções deriváveis num intervalo
5 Exercícios
9 Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada
1 Fórmula de Taylor
2 Funções convexas e côncavas
3 Aproximações sucessivas e método de Newton
4 Exercícios
10 A Integral de Riemann
1 Revisão sobre sup e inf
2 Integral de Riemann
3 Propriedades da integral
4 Condições de integrabilidade
5 Exercícios
11 Cálculo com Integrais
1 Os teoremas clássicos do Cálculo Integral
2 A integral como limite de somas de Riemann
3 Logaritmos e exponenciais
4 Integrais impróprias
5 Exercícios
12 Sequências e Séries de Funções
1 Convergência simples e convergência uniforme
2 Propriedades da convergência uniforme
3 Séries de potências
4 Funções trigonométricas
5 Séries de Taylor
6 Exercícios
13 Sugestões e Respostas
1 Conjuntos Finitos e Infinitos
2 Números Reais
3 Sequências de Números Reais
4 Séries Numéricas
5 Algumas Noções Topológicas
6 Limites de Funções
7 Funções Contínuas
8 Derivadas
9 Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada
10 A Integral de Riemann
11 Cálculo com Integrais
12 Sequências e Séries de Funções
Análise Real – Vol 1: Funções de uma Variável é uma obra indispensável para qualquer estudante de graduação que busca uma compreensão profunda e rigorosa da Análise Matemática. Com uma escrita clara, estrutura bem organizada e uma abordagem conceitual que privilegia a compreensão sobre a execução mecânica, este livro é uma excelente escolha tanto para cursos universitários quanto para estudo autodidata.
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Maria O –
Análise Real – Vol 1: Funções de uma Variável é um livro que realmente eleva o padrão dos materiais didáticos para estudantes de Matemática. Elon Lages Lima conseguiu criar um texto que não só cobre os fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral, mas também oferece uma abordagem rigorosa e conceitual que prepara os alunos para enfrentar desafios mais avançados.
O autor faz um excelente trabalho ao introduzir conceitos complexos de forma clara e direta, sem perder a profundidade necessária. Os capítulos sobre Sequências de Números Reais e Limites de Funções são particularmente bem escritos, com exemplos cuidadosamente escolhidos que facilitam a compreensão. Além disso, os 268 exercícios distribuídos ao longo do livro são um verdadeiro tesouro para quem deseja consolidar seu aprendizado. A inclusão de soluções para a maioria desses exercícios no final do livro é uma adição valiosa, permitindo que os alunos verifiquem seu progresso.
Recomendo fortemente este livro para qualquer estudante ou profissional que busca uma compreensão robusta da Análise Real. É uma obra essencial para qualquer biblioteca acadêmica!
João Silva –
Desde que comecei a usar “Análise Real – Vol 1: Funções de uma Variável” em meu curso universitário, minha percepção sobre a Análise Matemática mudou completamente. Este livro, escrito por Elon Lages Lima, é uma ferramenta indispensável para qualquer pessoa interessada em desenvolver uma compreensão profunda e crítica dos conceitos matemáticos.
O enfoque do livro na linguagem lógica e na estrutura das demonstrações é algo que realmente me impressionou. A maneira como os tópicos são apresentados permite que o leitor não apenas resolva problemas, mas também entenda plenamente os princípios subjacentes. A seção sobre Funções Contínuas e Derivadas é especialmente útil, fornecendo explicações detalhadas e aplicando conceitos de forma prática.
Além disso, a organização do conteúdo é impecável. Cada capítulo constrói sobre o anterior de maneira lógica, facilitando a assimilação dos conceitos. Os apêndices no final do livro são uma fonte de conhecimento adicional que complementa perfeitamente o material principal.
Como alguém que já usou muitos livros de análise real, posso afirmar com confiança que este é um dos melhores disponíveis. Se você está procurando uma introdução rigorosa à Análise Real, este livro deve ser sua primeira escolha. Ele proporcionará uma base sólida para seus estudos futuros e ajudará você a desenvolver habilidades analíticas excepcionais. Recomendo a todos os estudantes de graduação e professores que buscam um material didático de alta qualidade