Números Inteiros e Criptografia RSA

Descrição

Coutinho, com sua vasta experiência e conhecimento, apresenta o material de forma rigorosa, porém acessível, tornando conceitos complexos compreensíveis para leitores com diferentes níveis de familiaridade com a matemática. Através de uma narrativa enriquecida com exemplos concretos e notas históricas, o autor consegue tornar a leitura agradável e instigante, diferenciando-se significativamente dos tradicionais compêndios matemáticos.

O livro é estruturado de maneira que facilita o aprendizado progressivo, começando com uma introdução básica à criptografia e avançando através de tópicos mais complexos como algoritmos, teoremas, e demonstrações construtivas. O enfoque algorítmico adotado por Coutinho destaca-se por sua clareza e aplicabilidade, permitindo que mesmo leitores sem uma formação avançada em matemática possam compreender e aplicar os conceitos discutidos.

Os capítulos são meticulosamente organizados para cobrir desde os fundamentos da teoria dos números até as nuances específicas da criptografia RSA, incluindo a construção de chaves, a fatoração única, a aritmética modular, e os testes de primalidade. Além disso, o livro aborda de forma detalhada a aplicação prática desses conceitos na codificação e decodificação de informações, oferecendo uma visão completa sobre como a criptografia RSA funciona e por que é considerada segura.

Números Inteiros e Criptografia RSA é uma obra indispensável para estudantes, professores e profissionais interessados em matemática aplicada, ciência da computação e, especialmente, em criptografia. Coutinho não apenas ilumina o caminho para a compreensão da criptografia moderna, mas também inspira uma apreciação mais profunda pela matemática que a torna possível.

Este livro é uma contribuição valiosa para a literatura matemática e criptográfica, servindo como um recurso didático para o ensino e como um guia para a prática profissional. É uma leitura obrigatória para todos que desejam se aprofundar nos segredos da criptografia RSA e na teoria dos números que a fundamenta.

Números Inteiros e Criptografia RSA é mais do que um livro; é uma porta de entrada para o fascinante mundo da segurança digital e uma ferramenta essencial na formação de futuros matemáticos e criptógrafos.

Sumário

1 Introdução

1.1 Criptografia
1.2 Rivest, Shamir e Adleman
1.3 Construindo as Chaves
1.4 Equações diofantinas
1.5 Teoria dos números
1.6 Teoria dos números computacional
1.7 O livro
1.8 Teoremas e demonstrações

2 Algoritmos Fundamentais
2.1 Algoritmos
2.2 Algoritmo de divisão
2.3 Teorema de divisão
2.4 Algoritmo euclidiano
2.5 Demonstração do algoritmo euclidiano
2.6 Algoritmo euclidiano estendido
2.7 Equações diofantina lineares
2.8 Exercícios

3 Fatoração Única
3.1 Teorema da fatoração única
3.2 Existência da fatoração
3.3 Eficiência do algoritmo usual de fatoração
3.4 Fatoração por Fermat
3.5 Demonstração do algoritmo de Fermat
3.6 Propriedade fundamental dos primos
3.7 Unicidade da fatoração
3.8 Exercícios

4 Números Primos
4.1 Fórmulas polinomiais
4.2 Fórmulas exponenciais
4.3 Fórmulas fatoriais
4.4 Infinidade dos primos
4.5 Crivo de Erastóstenes
4.6 Exercícios

5 Aritmética modular
5.1 Relações de equivalência
5.2 Inteiros módulo n
5.3 Aritmética modular
5.4 Critérios de divisibilidade
5.5 Potências
5.6 Equações diofantinas
5.7 Divisão modular
5.8 Exercícios

6 Indução
6.1 Hanói! Hanói!
6.2 Indução finita
6.3 Algoritmos recursivos
6.4 Contando raízes
6.5 Exercícios

7 O Teorema de Fermat
7.1 A demonstração de Fermat
7.2 A demonstração de Euler
7.3 Potências e números de Mersenne
7.4 Exercícios

8 Pseudoprimos
8.1 Pseudoprimos
8.2 Números de Carmichael
8.3 O Teste Forete de composição
8.4 Primalidade e computação algébrica
8.5 Exercícios

9 Sistemas de congruências
9.1 Equações lineares
9.2 Um exemplo astronômico
9.3 Algoritmo chinês do resto
9.4 Módulos não coprimos
9.5 Potências, novamente
9.6 Partilha de senhas
9.7 Exercicios

10 Congruências quadráticas
10.1 Resíduos quadráticos
10.2 Equação modular de Pell
10.3 Multiplicando soluções
10.4 Contando soluções: o caso resíduo
10.5 Contando soluções: o caso não resíduo
10.6 Exercícios

11 Grupos
11.1 Definição e exemplos
11.2 Interlúdio
11.3 Subgrupos
11.4 O Teorema de Lagrange
11.5 Aplicações
11.6 A função de Euler
11.7 Comparando Grupos
11.8 Exercícios

12 Testes de primalidade
12.1 Os testes de Lucas e de Lucas-Lehmer
12.2 O teste de Brillhart, lehmer e Selfridge
12.3 Outras aplicações
12.4 Considerações preliminares
12.5 Teorema da raiz primitiva
12.6 Calculando ordens
12.7 Exercícios

13 Criptografia RSA
13.1 Codificando e decodificando
13.2 Porque o RSA funciona?
13.3 Por que o RSA é seguro?
13.4 Assinaturas digitais
13.5 Escolhendo primos
13.6 Exercícios