Tópicos de Matemática Elementar – Volume 3 Introdução à Análise

Uma passagem sólida da matemática elementar para funções, limites, derivadas e integrais

Tópicos de Matemática Elementar Volume 3: Introdução à Análise é uma obra para quem deseja compreender, com organização lógica e profundidade, os conceitos que conectam a matemática do ensino médio ao cálculo e à análise matemática. Escrito por Antonio Caminha Muniz Neto e publicado pela Sociedade Brasileira de Matemática, o livro desenvolve funções, sequências, séries, continuidade, integral de Riemann, limites e derivadas sem reduzir o estudo a uma coleção de fórmulas. A proposta é conduzir o leitor da intuição às definições precisas, às demonstrações e à resolução de problemas que exigem participação ativa.

Esta terceira edição, publicada em 2022, apresenta revisão editorial, novos exemplos e problemas e soluções mais detalhadas para as questões de maior dificuldade. Com 335 páginas, o volume integra a Coleção Professor de Matemática da SBM e pode ser utilizado por estudantes de graduação e licenciatura, professores, candidatos que buscam aprofundamento para o PROFMAT, participantes de olimpíadas de matemática e autodidatas que já possuem boa base algébrica e desejam avançar para uma compreensão mais rigorosa de análise e cálculo.

Sobre o Livro Tópicos de Matemática Elementar Volume 3

O terceiro volume da coleção começa pelo conceito de função e constrói cuidadosamente as ideias de domínio, contradomínio e imagem. Em seguida, desenvolve propriedades como monotonicidade e extremos, além de composição, inversão e funções definidas implicitamente. Essa progressão ajuda o leitor a organizar conhecimentos que muitas vezes aparecem de maneira fragmentada em cursos tradicionais e mostra como diferentes propriedades se relacionam dentro de uma mesma estrutura matemática.

A obra combina explicações conceituais, definições formais, proposições, teoremas, demonstrações e numerosos exemplos. O autor parte de situações elementares, mas não evita questões que exigem raciocínio mais elaborado. Os problemas propostos ao final das seções não funcionam apenas como repetição mecânica: eles exercitam os resultados apresentados, ampliam a teoria e convidam o leitor a completar argumentos ou investigar consequências dos conceitos estudados. Problemas marcados com asterisco têm papel especial nessa construção e integram a própria sequência de aprendizagem.

Depois de estabelecer uma base consistente sobre funções e seus gráficos, o livro avança para sequências e séries de números reais. A continuidade é apresentada de maneira progressiva, chegando a resultados fundamentais como o teorema do valor intermediário e a caracterização sequencial. Na parte dedicada à integração, o leitor estuda a integral de Riemann para funções contínuas, a construção da função logaritmo natural, funções côncavas e convexas e a desigualdade de Jensen.

O percurso se completa com limites e derivadas, propriedades básicas da diferenciação, estudo da primeira e da segunda variação de uma função e o teorema fundamental do cálculo, que estabelece a ligação central entre derivação e integração. Além do texto principal, a obra oferece um capítulo extenso de soluções e sugestões, referências bibliográficas, glossário de competições matemáticas e índice remissivo. Esse conjunto favorece tanto o estudo orientado em disciplinas quanto o trabalho autônomo e a consulta posterior.

Sumário

Prefácio
Prefácio à 2ª edição
Prefácio à 3ª edição

1. O Conceito de Função

1.1 Definições e exemplos
1.2 Monotonicidade, extremos e imagem
1.3 Composição de funções
1.4 Inversão de funções
1.5 Funções definidas implicitamente

2. Gráficos de Funções

2.1 Generalidades e exemplos
2.2 Funções trigonométricas

3. Mais sobre Números Reais

3.1 Limites de sequências
3.2 Séries de números reais
3.3 O lema de Kronecker

4. Funções Contínuas

4.1 Definição e exemplos
4.2 O teorema do valor intermediário
4.3 Continuidade sequencial

5. A Integral de Riemann

5.1 A integral de uma função contínua
5.2 A função logaritmo natural
5.3 Funções côncavas e convexas
5.4 A desigualdade de Jensen

6. Limites e Derivadas

6.1 Limites de funções
6.2 Propriedades básicas de derivadas
6.3 A primeira variação de uma função
6.4 O teorema fundamental do Cálculo
6.5 A segunda variação de uma função

7. Soluções e Sugestões

Referências
Glossário
Índice Remissivo

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