Introdução aos Sistemas Dinâmicos

Descrição

Os autores abordam os fundamentos da teoria de maneira clara e acessível, ilustrando conceitos complexos com exemplos práticos e provas detalhadas. O livro começa com uma introdução às variedades diferenciáveis e aos campos de vetores, antes de avançar para temas mais profundos como estabilidade estrutural, transversalidade e os importantes teoremas de Hartman-Grobman, Kupka-Smale e Peixoto. A obra se destaca ao apresentar versões mais simples dessas demonstrações do que as originais, facilitando a compreensão e abrindo portas para generalizações significativas.

Ao longo dos capítulos, o leitor encontra uma exposição meticulosa sobre a estabilidade local, incluindo singularidades, pontos fixos hiperbólicos, e variedades invariantes. Além disso, os autores dedicam um espaço ao Teorema de Kupka-Smale, abordando a transversalidade das variedades invariantes e explorando a genericidade dos campos de vetores.

Outro ponto alto da obra é a discussão sobre os campos de Morse-Smale e sua estabilidade estrutural, incluindo a densidade desses campos em superfícies orientáveis. Ao final, o livro aborda a dinâmica das transformações monótonas do círculo, fornecendo sugestões e problemas selecionados que incentivam o leitor a aprofundar seu entendimento do tema.

A riqueza e a profundidade do conteúdo tornam este livro um guia indispensável para quem estuda sistemas dinâmicos. Os autores, ambos com carreiras brilhantes e reconhecidas na matemática, oferecem uma obra que equilibra rigor teórico e clareza didática. Introdução aos Sistemas Dinâmicos é, sem dúvida, uma leitura fundamental para todos que desejam explorar os fascinantes caminhos da estabilidade estrutural e da dinâmica dos sistemas.

Sumário

1 Variedades diferenciáveis e campos de vetores
0 Cálculo no Rn e variedades diferenciáveis
1 Campos de vetores em variedades
2 Topologia no espaço de aplicações C r
3 Tranversabilidade
4 Estabilidade estrutural

2 Estabilidade local
1 Teorema do fluxo tubular
2 Campos de vetores lineares
3 Singularidades e pontos fixos hiperbólicos
4 Estabilidade local
5 Classificação local
6 Variedades invariantes
7 O λ–lema – demonstração geométrica da estabilidade local

3 O Teorema de Kupka-Smale
1 Transformação de Poincaré
2 Genericidade de campos de vetores
3 Transversalidade das variedades invariantes

4 Genericidade e estabilidade dos campos de Morse-Smale
1 Campos de Morse-Smale – estabilidade estrutural
2 Densidade dos campos de Morse-Smale em superfícies orientáveis
3 Generalizações
4 Difeomorfismos: resultados gerais de estabilidade estrutural

A Dinâmica das transformações monótonas do círculo

B Sugestões e problemas selecionados