Descrição
O texto que mudou para sempre o ensino de contagem no Brasil — agora com as soluções completas dos exercícios
Há livros didáticos que ensinam fórmulas. E há livros que ensinam a pensar matematicamente. Análise Combinatória e Probabilidade, escrito por Augusto César Morgado, João Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Pinto Carvalho e Pedro Fernandez, é um daqueles raros textos que pertencem à segunda categoria — e que, por isso mesmo, há mais de três décadas vem formando gerações de professores, alunos olímpicos e estudantes de graduação no Brasil. Esta é a 11ª edição, publicada pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) em 2026, e, pela primeira vez no volume, todas as soluções dos exercícios incluídas no próprio texto.
Se você é professor de Ensino Médio enfrentando a temida unidade de combinatória, aluno do PROFMAT preparando-se para a disciplina de Matemática Discreta, estudante de licenciatura, candidato em olimpíadas de matemática ou universitário em curso introdutório de probabilidade — este livro foi pensado exatamente para você.
Sobre o Livro
Publicado originalmente em 1991 como parte de um projeto de aperfeiçoamento de professores de Matemática do então 2º grau, financiado pela Fundação VITAE e iniciado no Rio de Janeiro, este texto nasceu da inquietação de quatro matemáticos brasileiros diante de um problema concreto: a Análise Combinatória tem sido frequentemente apontada por professores como a parte da Matemática mais difícil de ensinar. Apesar de repleta de problemas fascinantes e capazes de motivar alunos, ela é com frequência percebida como uma disciplina complicada, em que o estudante se perde em busca da “fórmula correta” para cada problema novo.
A resposta dos autores a esse problema é a marca registrada do livro: resolver problemas de contagem por meio de princípios fundamentais, evitando sempre que possível recorrer a fórmulas. É uma escolha didática poderosa. Em vez de oferecer um arsenal de receitas a serem decoradas, o livro ensina o leitor a raciocinar combinatoriamente — a analisar a estrutura do problema, identificar a operação essencial de contagem e construir a solução a partir de poucos princípios bem compreendidos.
O resultado é um texto enxuto, denso e ao mesmo tempo acessível, que dialoga com o leitor da forma como um bom professor dialoga em sala de aula. Os capítulos abrem com motivações concretas, frequentemente históricas, e avançam por meio de exemplos cuidadosamente escolhidos. Quando uma fórmula é apresentada, ela já chega como consequência natural de um raciocínio que o leitor pôde acompanhar — e não como um objeto mágico a ser memorizado.
A 10ª edição traz uma adição que amplia enormemente a utilidade do livro para o estudo independente: as soluções completas dos exercícios, reunidas em uma seção dedicada ao final do volume. Esse acréscimo transforma o livro em ferramenta de autoestudo plenamente autossuficiente, mantendo a abordagem original em que o leitor é convidado a tentar primeiro, ler depois, e comparar sua estratégia com a dos autores.
Há livros bons, há livros importantes e há livros que mudam a forma como uma geração inteira aprende e ensina uma disciplina. Análise Combinatória e Probabilidade, da SBM, é da terceira categoria. Mais de três décadas depois de sua primeira edição, ele continua sendo o caminho mais curto, mais elegante e mais sólido para dominar a combinatória elementar e a probabilidade finita no Brasil — agora com a vantagem adicional de trazer todas as soluções dos exercícios. Adicione ao carrinho e leve para casa um clássico que vai acompanhá-lo por toda a vida acadêmica.
Sumário
O sumário está estruturado em oito capítulos, distribuídos da seguinte forma:
1. Introdução — apresenta a pergunta fundamental “o que é Combinatória?”, oferece um panorama histórico que vai dos elementos de Euclides ao desenvolvimento das probabilidades por Pascal e Fermat, e revisa a linguagem de conjuntos necessária para o restante do texto.
1.1 O que é Combinatória?
1.2 Um pouco de História
1.3 Conjuntos
2. Combinações e Permutações — núcleo clássico da combinatória elementar, tratado de forma a privilegiar a compreensão do princípio multiplicativo e da bijeção, antes da memorização de fórmulas.
2.1 Introdução
2.2 Permutações simples
2.3 Combinações simples
2.4 Permutações circulares
2.5 Permutações de elementos nem todos distintos
2.6 Combinações completas
3. Outros Métodos de Contagem — capítulo decisivo para o leitor olímpico e para o professor que busca enriquecer seu repertório didático, com ferramentas que vão muito além do programa tradicional do Ensino Médio.
3.1 O Princípio da Inclusão–Exclusão
3.2 Permutações caóticas
3.3 Os Lemas de Kaplansky
3.4 O Princípio da Reflexão
3.5 O Princípio de Dirichlet (princípio das gavetas)
4. Números Binomiais — desenvolvimento sistemático do triângulo de Pascal, do binômio de Newton e do polinômio de Leibniz, com numerosas identidades demonstradas por argumentos combinatórios.
4.1 O Triângulo de Pascal
4.2 O Binômio de Newton
4.3 Polinômio de Leibniz
5. Probabilidade — segunda metade do livro, integrando contagem e probabilidade finita em uma exposição rigorosa porém didática, que parte da definição de Laplace até chegar à distribuição binomial.
5.1 Introdução
5.2 Espaço Amostral e Probabilidades de Laplace
5.3 Espaço de probabilidade
5.4 Probabilidades condicionais
5.5 A Distribuição binomial
6. Apêndice — três apêndices técnicos para o leitor mais avançado: a demonstração formal do Princípio da Inclusão–Exclusão, a solução de Kaplansky para o problema de Lucas, e a demonstração de uma desigualdade clássica em probabilidade.
7. Respostas dos Exercícios — respostas finais para conferência rápida.
8. Soluções dos Exercícios — soluções desenvolvidas, capítulo a capítulo, ocupando mais de 140 páginas do volume. Este é o material que faz da 10ª edição uma ferramenta especialmente valiosa para autoestudo e para o trabalho do professor em sala de aula.
O volume é encerrado por uma seção de Referências e um Índice Remissivo que facilita a consulta rápida a conceitos específicos.
Para Quem é Este Livro?
Embora tenha nascido de um projeto voltado para a formação de professores do Ensino Médio, Análise Combinatória e Probabilidade conquistou um público muito mais amplo. Ele é hoje leitura essencial para diferentes perfis de leitor.
Professores de Matemática do Ensino Médio encontram aqui um material que reorganiza a forma de pensar a combinatória — substituindo o “decoreba” de fórmulas pela construção sólida de princípios, o que se reflete diretamente na qualidade da aula. Não é exagero dizer que muitos dos melhores professores brasileiros de combinatória ensinaram a si mesmos a ensinar a partir deste livro.
Estudantes do PROFMAT (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) reconhecem este como um dos textos de referência da disciplina, frequentemente indicado em ementas de Matemática Discreta e nos exames de qualificação.
Alunos de licenciatura em Matemática têm aqui um livro acessível em linguagem e exigente em rigor — perfeito para o curso de Análise Combinatória e Probabilidade da graduação.
Estudantes preparando-se para olimpíadas (OBM, OBMEP, Cone Sul, Ibero-americana) encontram no Capítulo 3, em particular, técnicas que figuram com frequência em problemas competitivos: Inclusão–Exclusão, permutações caóticas, Lemas de Kaplansky, princípio da reflexão e princípio das gavetas. O livro figura na bibliografia oficial recomendada pela OBM.
Universitários de Engenharia, Ciência da Computação, Estatística e Economia que precisam de um primeiro curso sólido de contagem e probabilidade finita encontram aqui um material mais leve do que tratados especializados e mais profundo do que apostilas de cursinho.
Leitores autodidatas que gostam de pensar matematicamente e querem entender de verdade um dos ramos mais elegantes da Matemática — com a vantagem, nesta 10ª edição, de poderem conferir todas as soluções dos exercícios.
Sobre os Autores
Augusto César de Oliveira Morgado (Rio de Janeiro, 1944 — 2006) é um dos nomes mais queridos e influentes do ensino de Matemática no Brasil. Licenciou-se em Matemática pela Universidade do Estado da Guanabara (hoje UERJ) e fez mestrado em Matemática e em Estatística na UFRJ. Foi professor adjunto da PUC-Rio, professor titular da Universidade Federal de Juiz de Fora, professor da Escola Nacional de Ciências Estatísticas (ENCE/IBGE) e da Escola Naval. Lecionou no Colégio Pedro II, no Colégio Santo Antônio Maria Zaccaria e no Colégio de São Bento. Foi membro da diretoria executiva da Federação Ibero-Americana de Competições Matemáticas, do comitê editorial da Revista do Professor de Matemática e da Comissão de Olimpíadas da SBM. A partir de 1990, foi um dos protagonistas do PAPMEM — Programa de Aperfeiçoamento de Professores de Matemática do Ensino Médio do IMPA — onde suas aulas, hoje disponíveis em vídeo, alcançam novas gerações de professores. É coautor de outros clássicos da Coleção Professor de Matemática, como Progressões e Matemática Financeira e Trigonometria e Números Complexos.
João Bosco Pitombeira Fernandes de Carvalho graduou-se em Engenharia Civil pela Universidade Federal do Ceará (1962) e fez mestrado (1964) e doutorado (1967) em Matemática pela University of Chicago. Professor Emérito da PUC-Rio, atua na pós-graduação em Educação da PUC-Rio e tem se destacado como uma das principais autoridades brasileiras em História da Matemática e em Educação Matemática. É autor de dezenas de artigos em periódicos nacionais e internacionais, incluindo o influente “The history of mathematics education in Brazil” publicado na revista ZDM Mathematics Education.
Paulo Cezar Pinto Carvalho graduou-se em Engenharia Civil pelo Instituto Militar de Engenharia (IME, 1975), fez mestrado em Matemática pelo IMPA e doutorado em Pesquisa Operacional pela Cornell University (1984). Foi por décadas pesquisador titular do IMPA, na área de Visão Computacional e Computação Gráfica, sendo um dos fundadores do laboratório Visgraf. Atualmente é professor da Escola de Matemática Aplicada da Fundação Getúlio Vargas (EMAp-FGV) e continua como pesquisador associado do IMPA. Desde 1991 é professor do PAPMEM e tem participação ativa na Olimpíada Brasileira de Matemática, na OBMEP e no PROFMAT. É autor de vários livros da Coleção Professor de Matemática e integra o comitê editorial da Revista do Professor de Matemática.
Pedro Jesus Fernandez é um dos pioneiros do ensino moderno de probabilidade no Brasil. Sua obra Introdução à Teoria das Probabilidades, publicada originalmente nos anos 1970 pelo IMPA na coleção Monografias de Matemática, formou várias gerações de matemáticos, estatísticos, físicos e engenheiros no país. Sua contribuição para este texto se concentra particularmente nos capítulos de probabilidade, onde se beneficia da longa experiência didática em apresentar a teoria com rigor sem perder a acessibilidade.
Sobre a Editora SBM e a Coleção Professor de Matemática
Este livro integra a Coleção Professor de Matemática da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), onde ocupa o volume 2 — ou seja, está entre as primeiras obras lançadas em uma das coleções mais respeitadas e influentes da matemática brasileira.
A SBM foi fundada em 1969 e é uma das instituições mais importantes para o desenvolvimento da Matemática no Brasil. Sua atuação inclui o estímulo à pesquisa, a valorização do ensino, a formação de professores, a organização de eventos científicos e a publicação de obras de referência. A Coleção Professor de Matemática, em particular, foi concebida para a formação de professores e tem como público alvo licenciandos, professores em exercício e participantes de cursos de aperfeiçoamento. Cada volume da coleção é escrito por matemáticos de primeira linha, com a preocupação explícita de servir tanto à sala de aula quanto ao estudo independente.
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A livrosdematematica.com é a única livraria brasileira especializada exclusivamente em livros de Matemática. Aqui você encontra um catálogo curado de títulos das principais editoras matemáticas do país e do mundo — SBM, IMPA, edições universitárias e títulos traduzidos — selecionados para atender professores, estudantes, pesquisadores e autodidatas que levam a sério o estudo da Matemática.
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Perguntas Frequentes
Qual é a edição disponível deste livro?
A edição comercializada é a 11ª edição, publicada pela SBM em 2023, com 338 páginas (ISBN 978-65-990395-3-9). Esta é a edição mais recente e mais completa do livro, sendo a primeira a incluir, no próprio volume, as soluções desenvolvidas de todos os exercícios — recurso que torna o livro ideal para autoestudo.
O livro inclui soluções dos exercícios?
Sim. A 10ª edição traz, ao final do volume, duas seções complementares: o Capítulo 7, com as respostas finais dos exercícios para conferência rápida, e o Capítulo 8, com as soluções desenvolvidas, capítulo a capítulo. Essa é uma das principais diferenças em relação a edições anteriores e a uma das razões pelas quais o livro se firmou como ferramenta de autoestudo.
Este livro serve para o Ensino Médio ou para a graduação?
Os dois. O livro foi originalmente escrito para a formação de professores do Ensino Médio, mas seu nível de profundidade e rigor o tornaram leitura padrão em disciplinas universitárias introdutórias de Análise Combinatória e Probabilidade. Os capítulos 1, 2, 4 e 5 cobrem o programa do Ensino Médio com folga; o capítulo 3 ultrapassa esse nível e é particularmente útil para preparação olímpica e para cursos de graduação.
O livro serve para preparação para olimpíadas de matemática?
Sim. Análise Combinatória e Probabilidade figura na bibliografia oficial recomendada pela Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM). O capítulo dedicado a “Outros Métodos de Contagem” — com Inclusão–Exclusão, permutações caóticas, Lemas de Kaplansky, princípio da reflexão e princípio de Dirichlet — apresenta técnicas que aparecem com frequência em problemas olímpicos nacionais e internacionais.
Este livro é o mesmo usado no PROFMAT?
Sim. O livro é uma das referências mais citadas em disciplinas do PROFMAT que envolvem combinatória e probabilidade, frequentemente listado em ementas oficiais ao lado dos volumes da série A Matemática do Ensino Médio (também publicados pela SBM).
Quais são os pré-requisitos para estudar este livro?
Os pré-requisitos são modestos: noções básicas de teoria de conjuntos, manipulação algébrica elementar e familiaridade com fatoriais. Toda a notação necessária é apresentada no capítulo introdutório. O texto não exige cálculo diferencial e integral em nenhum momento — o que o torna acessível a alunos do Ensino Médio bem motivados e a leitores autodidatas.
Existem outros livros com título parecido? Como ter certeza de que é este?
Sim, há outras obras no mercado brasileiro com títulos parecidos sobre análise combinatória e probabilidade. Para garantir que você está adquirindo este livro específico, verifique a autoria — Morgado, Pitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Pinto Carvalho e Pedro Fernandez — a editora SBM. Esta é a edição oficial da Coleção Professor de Matemática, volume 2.
Rafael Nunes –
Análise Combinatória e Probabilidade é uma obra imprescindível para aqueles que buscam um entendimento profundo e abrangente destas áreas vitais da matemática. Recomendo enfaticamente este livro a todos os estudantes e professores de matemática.
A abordagem dos autores é clara e metódica, tornando conceitos complexos acessíveis e compreensíveis. O livro é bem estruturado, cobrindo uma gama ampla de tópicos essenciais em análise combinatória e probabilidade, e é repleto de exemplos práticos e exercícios desafiadores que estimulam o pensamento crítico e a aplicação prática do conhecimento.
Prof Rodrigo M –
O livro “Análise Combinatória e Probabilidade” é simplesmente essencial para quem deseja compreender de forma sólida e didática dois pilares da matemática discreta. Os autores conduzem o leitor por conceitos clássicos com explicações claras, exemplos bem selecionados e uma progressão lógica que facilita muito o aprendizado. O diferencial está no equilíbrio entre rigor teórico e aplicação prática, algo valioso tanto para estudantes quanto para professores.