Descrição
O clássico que formou gerações de matemáticos brasileiros: a obra de referência para o estudo rigoroso da Análise Real de uma variável
Poucas obras ocuparam, na bibliografia universitária brasileira, o lugar de Curso de Análise – Volume 1, de Elon Lages Lima. Publicado pela primeira vez em 1976 pelo Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), na Coleção Projeto Euclides, o livro atravessou cinco décadas como leitura essencial em cursos de Bacharelado em Matemática, programas de Licenciatura, Mestrados Profissionais e provas de seleção para a pós-graduação em todo o país. Se você se prepara para um curso de Análise Real, para o exame de seleção do IMPA, do PROFMAT ou de qualquer programa de pós-graduação em Matemática no Brasil, este é o livro com o qual seus futuros professores foram formados — e que continua sendo a base lógica de tudo o que vem depois.
Sobre o Livro
O Curso de Análise – Volume 1 apresenta, com rigor e clareza didática, o estudo das funções reais de uma variável real. A obra parte da linguagem de conjuntos e funções, constrói cuidadosamente os números reais a partir dos corpos ordenados, e percorre todos os temas centrais da Análise: sequências, séries, topologia da reta, limites, continuidade, derivadas, integral de Riemann e sequências e séries de funções.
O traço mais característico do livro é a sua auto-suficiência: nenhum resultado é usado sem antes ser demonstrado no texto. O autor parte do princípio de que o leitor já tenha cursado dois semestres de Cálculo e, portanto, conheça intuitivamente as ideias de limite, derivada e integral. A partir daí, Elon trata exatamente do que o Cálculo deixa em aberto — a conceituação precisa, o encadeamento lógico das proposições e a análise das propriedades estruturais dos objetos matemáticos. Manipulações operacionais com limites e derivadas, que já fazem parte do repertório do estudante de Cálculo, são deliberadamente colocadas em segundo plano para abrir espaço à demonstração rigorosa.
Outra característica notável da obra é a sua organização pedagógica em duas frentes. Nos dois primeiros capítulos, sobre conjuntos, funções, números naturais, conjuntos finitos, enumeráveis e não-enumeráveis, o autor adota um estilo informal e descritivo — o chamado ponto de vista ingênuo. A partir do capítulo III, em que os números reais são introduzidos como corpo ordenado completo, o livro passa ao ponto de vista axiomático, com o rigor que caracteriza a Análise Matemática moderna. Essa transição, conduzida com elegância, é precisamente o que prepara o estudante para a abstração exigida em todas as disciplinas posteriores de Matemática pura.
Os exercícios são parte central do projeto pedagógico. O autor distribui várias centenas deles ao longo dos capítulos, com graus de dificuldade explicitamente variados. Como o próprio Elon escreve no prefácio, matemática não se aprende passivamente: os exercícios ensinam a usar conceitos e proposições, desfazem mal-entendidos, exploram as fronteiras das hipóteses dos teoremas e apresentam aplicações e resultados adicionais. Resolver o maior número possível deles é, segundo o próprio autor, uma tarefa essencial do leitor.
Sumário
1 Conjuntos e Funções
1 Conjuntos
2 Operações entre conjuntos
3 Funções
4 Composição de funções
5 Famílias
Exercícios
2 Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis
1 Números naturais
2 Boa ordenação e o Segundo Princípio de Indução
3 Conjuntos finitos e infinitos
4 Conjuntos enumeráveis
5 Conjuntos não-enumeráveis
Exercícios
3 Números Reais
1 Corpos
2 Corpos ordenados
3 Números reais
Exercícios
4 Sequências e Séries de Números Reais
1 Sequências
2 Limite de uma sequência
3 Propriedades aritméticas dos limites
4 Subsequências
5 Sequências de Cauchy
6 Limites infinitos
7 Séries numéricas
Exercícios
5 Topologia da Reta
1 Conjuntos abertos
2 Conjuntos fechados
3 Pontos de acumulação
4 Conjuntos compactos
Exercícios
6 Limites de Funções
1 Definição e propriedades do limite
2 Exemplos de limites
3 Limites laterais
4 Limites no infinito
5 Valores de aderência de uma função; lim sup e lim inf
Exercícios
7 Funções Contínuas
1 A noção de função contínua
2 Descontinuidades
3 Funções contínuas em intervalos
4 Funções contínuas em conjuntos compactos
5 Continuidade uniforme
Exercícios
8 Derivadas
1 Definição e propriedades da derivada num ponto
2 Funções deriváveis num intervalo
3 Fórmula de Taylor
4 Série de Taylor, funções analíticas
Exercícios
9 Integral de Riemann
1 Integral superior e integral inferior
2 Funções integráveis
3 O Teorema Fundamental do Cálculo
4 Fórmulas clássicas do Cálculo Integral
5 A integral como limite de somas
6 Caracterização das funções integráveis
7 Logaritmos e exponenciais
Exercícios
10 Sequências e Séries de Funções
1 Convergência simples e convergência uniforme
2 Propriedades da convergência uniforme
3 Séries de potências
4 Funções analíticas
5 Equicontinuidade
Exercícios
Bibliografia
Índice de Notações
Índice de Autores
Índice Remissivo
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Investir em Curso de Análise – Volume 1 é investir em uma referência que acompanhará você por toda a graduação, pelo mestrado e provavelmente pelo restante da sua carreira como matemático ou professor de Matemática. É o livro citado nas ementas, recomendado pelos orientadores e consultado nas bibliotecas das melhores universidades do país. Compre com a segurança de uma livraria especializada em livros de matemática — atendimento de quem conhece o catálogo do IMPA e da SBM, edições originais, envio para todo o Brasil e parcelamento sem juros. Adicione ao carrinho e dê o próximo passo na sua formação matemática.
Sumário
1 Conjuntos e Funções
1 Conjuntos
2 Operações entre conjuntos
3 Funções
4 Composição de funções
5 Famílias
Exercícios
2 Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis
1 Números naturais
2 Boa ordenação e o Segundo Princípio de Indução
3 Conjuntos finitos e infinitos
4 Conjuntos enumeráveis
5 Conjuntos não-enumeráveis
Exercícios
3 Números Reais
1 Corpos
2 Corpos ordenados
3 Números reais
Exercícios
4 Sequências e Séries de Números Reais
1 Sequências
2 Limite de uma sequência
3 Propriedades aritméticas dos limites
4 Subsequências
5 Sequências de Cauchy
6 Limites infinitos
7 Séries numéricas
Exercícios
5 Topologia da Reta
1 Conjuntos abertos
2 Conjuntos fechados
3 Pontos de acumulação
4 Conjuntos compactos
Exercícios
6 Limites de Funções
1 Definição e propriedades do limite
2 Exemplos de limites
3 Limites laterais
4 Limites no infinito
5 Valores de aderência de uma função; lim sup e lim inf
Exercícios
7 Funções Contínuas
1 A noção de função contínua
2 Descontinuidades
3 Funções contínuas em intervalos
4 Funções contínuas em conjuntos compactos
5 Continuidade uniforme
Exercícios
8 Derivadas
1 Definição e propriedades da derivada num ponto
2 Funções deriváveis num intervalo
3 Fórmula de Taylor
4 Série de Taylor, funções analíticas
Exercícios
9 Integral de Riemann
1 Integral superior e integral inferior
2 Funções integráveis
3 O Teorema Fundamental do Cálculo
4 Fórmulas clássicas do Cálculo Integral
5 A integral como limite de somas
6 Caracterização das funções integráveis
7 Logaritmos e exponenciais
Exercícios
10 Sequências e Séries de Funções
1 Convergência simples e convergência uniforme
2 Propriedades da convergência uniforme
3 Séries de potências
4 Funções analíticas
5 Equicontinuidade
Exercícios
Bibliografia
Índice de Notações
Índice de Autores
Índice Remissivo
Conteúdo Programático
O Curso de Análise – Volume 1 está organizado em dez capítulos que cobrem, de forma sistemática, todo o programa padrão de Análise Real em uma variável dos cursos brasileiros de graduação e pós-graduação em Matemática.
Capítulo I — Conjuntos e Funções.
Conjuntos; operações entre conjuntos; funções; composição de funções; famílias.
Capítulo II — Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis.
Números naturais; boa ordenação e o Segundo Princípio de Indução; conjuntos finitos e infinitos; conjuntos enumeráveis; conjuntos não-enumeráveis.
Capítulo III — Números Reais.
Corpos; corpos ordenados; números reais (construção axiomática como corpo ordenado completo).
Capítulo IV — Sequências e Séries de Números Reais.
Sequências; limite de uma sequência; propriedades aritméticas dos limites; subsequências; sequências de Cauchy; limites infinitos; séries numéricas.
Capítulo V — Topologia da Reta.
Conjuntos abertos; conjuntos fechados; pontos de acumulação; conjuntos compactos.
Capítulo VI — Limites de Funções.
Definição e propriedades do limite; exemplos de limites; limites laterais; limites no infinito; valores de aderência de uma função, lim sup e lim inf.
Capítulo VII — Funções Contínuas.
A noção de função contínua; descontinuidades; funções contínuas em intervalos; funções contínuas em conjuntos compactos; continuidade uniforme.
Capítulo VIII — Derivadas.
Definição e propriedades da derivada num ponto; funções deriváveis num intervalo; fórmula de Taylor; série de Taylor e funções analíticas.
Capítulo IX — Integral de Riemann.
Integral superior e integral inferior; funções integráveis; o Teorema Fundamental do Cálculo; fórmulas clássicas do Cálculo Integral; a integral como limite de somas; caracterização das funções integráveis; logaritmos e exponenciais.
Capítulo X — Sequências e Séries de Funções.
Convergência simples e convergência uniforme; propriedades da convergência uniforme; séries de potências; funções analíticas; equicontinuidade.
A obra encerra com bibliografia comentada e índice alfabético, recursos preciosos para quem usa o livro como texto de consulta ao longo da formação.
Para Quem é Este Livro
O Curso de Análise – Volume 1 é dirigido a estudantes que já têm familiaridade prévia com o Cálculo Diferencial e Integral em uma variável e estão prontos para o salto conceitual em direção à Análise Real. Em termos práticos, o público típico inclui:
Estudantes de graduação em Matemática — Bacharelado e Licenciatura — que cursam pela primeira vez a disciplina de Análise Real, geralmente no terceiro ou quarto período. Para esses alunos, o livro é frequentemente o texto adotado oficialmente, ou o texto de referência consultado paralelamente ao material da disciplina.
Candidatos a programas de pós-graduação em Matemática, sobretudo aos exames de seleção do IMPA, da UFRJ, da UNICAMP, da USP, da UFMG, da UFC e dos demais grandes programas brasileiros. As bancas costumam exigir domínio dos temas tratados nos capítulos III a IX, e a abordagem do Elon é a base sobre a qual essas provas foram historicamente construídas.
Professores de Ensino Superior que adotam o livro como texto base de seus cursos de Análise Real ou que recomendam capítulos específicos como complemento bibliográfico — uso histórico em centenas de universidades brasileiras.
Estudantes do PROFMAT (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) que precisam revisitar os fundamentos da Análise para as disciplinas de Aritmética dos Números Reais, Cálculo e disciplinas eletivas.
Autodidatas avançados com sólido preparo em Cálculo, dispostos a investir tempo na resolução sistemática dos exercícios — a única maneira, segundo o próprio autor, de realmente aprender Análise.
Sobre o Autor
Elon Lages Lima (1929–2017) foi, sem exagero, o matemático que moldou a forma como a Matemática universitária é ensinada no Brasil. Nascido em Maceió e formado em Matemática pela Universidade Federal do Rio de Janeiro, fez Mestrado e Doutorado (Ph.D.) na Universidade de Chicago e desenvolveu pesquisas em Topologia Diferencial no Institute for Advanced Study em Princeton e na Universidade de Columbia, sob influência de Stephen Smale.
Foi Pesquisador Emérito do IMPA, instituição da qual também foi Diretor, e Presidente da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Como Membro Titular da Academia Brasileira de Ciências e da TWAS (Academy of Sciences for the Developing World), recebeu títulos de Doutor Honoris Causa pelas Universidades Federais do Amazonas e de Alagoas e pela Universidad Nacional de Ingeniería del Perú, e de Professor Honoris Causa pelas Universidades Federais do Ceará e da Bahia, pela Universidade Estadual de Campinas, pela Pontifícia Universidad Católica del Perú e pela Universidade de Brasília. Foi condecorado com a Grã-Cruz da Ordem Nacional do Mérito Científico, pela Presidência da República, e com o Prêmio Anísio Teixeira, pelo Ministério da Educação. Dois de seus livros — Espaços Métricos e Álgebra Linear — foram laureados com o Prêmio Jabuti de Ciências Exatas e Tecnologia.
Para além da pesquisa, Elon idealizou e dirigiu as duas grandes coleções de livros didáticos universitários do IMPA — Projeto Euclides e Coleção Matemática Universitária — e criou, em 1990, o PAPMEM (Programa de Aperfeiçoamento de Professores de Matemática do Ensino Médio), iniciativa que já beneficiou mais de vinte mil professores brasileiros. Autor de dezenas de livros didáticos em Topologia, Análise, Álgebra e Matemática Elementar, sua obra continua sendo a espinha dorsal bibliográfica do ensino superior de Matemática no Brasil.
Sobre a Editora IMPA e a Coleção Projeto Euclides
O Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), sediado no Rio de Janeiro, é o principal centro brasileiro de pesquisa, ensino e divulgação em Matemática. Sua atividade editorial, dirigida a estudantes de graduação avançada, pós-graduação e pesquisadores, é uma das mais respeitadas da América Latina.
A Coleção Projeto Euclides, idealizada por Elon Lages Lima e mantida pela Comissão Editorial composta pelos professores Elon Lages Lima, S. Collier Coutinho e Paulo Sad, reúne os textos universitários mais avançados do catálogo do IMPA. Entre os títulos publicados na coleção estão obras de referência como Espaços Métricos, Geometria Riemanniana (Manfredo P. do Carmo), Teoria Ergódica (Ricardo Mañé), Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais (Djairo Guedes de Figueiredo), Introdução aos Sistemas Dinâmicos (Jacob Palis e Welington de Melo), entre muitos outros. Estar nessa coleção é, por si só, uma chancela de excelência editorial.
Perguntas Frequentes
Qual é a edição disponível de Curso de Análise – Volume 1?
Comercializamos a última edição vigente publicada pelo IMPA na Coleção Projeto Euclides — atualmente a 16ª edição (2026) lançamento maio 2026. Trata-se da edição mais recente, com a paginação compactada e a revisão tipográfica e editorial mais atual da obra de Elon Lages Lima. Em caso de eventual atualização de edição pelo IMPA, mantemos o estoque alinhado à edição corrente; consulte o atendimento se precisar confirmar a edição específica para uma ementa de disciplina.
Qual a diferença entre Curso de Análise – Volume 1 e Análise Real – Volume 1, ambos de Elon Lages Lima?
São duas obras distintas, ambas excelentes, mas com propósitos diferentes. O Curso de Análise – Volume 1, da Coleção Projeto Euclides, é o texto mais completo, denso e detalhado, voltado a um curso semestral completo de Análise Real e a preparação para a pós-graduação. Já Análise Real – Volume 1, da Coleção Matemática Universitária, é um texto mais conciso e introdutório, com menor número de páginas e abordagem mais enxuta dos mesmos temas em uma variável. A escolha depende da ementa adotada pelo professor e do nível de profundidade desejado.
O livro serve para quem cursa Cálculo pela primeira vez?
Não diretamente. O Curso de Análise pressupõe que o leitor já tenha cursado pelo menos dois semestres de Cálculo Diferencial e Integral em uma variável, com familiaridade com as noções intuitivas de limite, continuidade, derivada, integral e séries. O foco do livro não é a manipulação computacional dessas ideias, mas sua fundamentação rigorosa. Para um primeiro contato com o Cálculo, recomendamos textos clássicos de Cálculo (Guidorizzi, Stewart, Apostol) antes de abrir o Elon.
O livro inclui exercícios resolvidos?
O livro contém várias centenas de exercícios distribuídos ao longo dos dez capítulos, com graus de dificuldade variados. Há exercícios francamente acessíveis e outros bastante desafiadores, em conformidade com o estilo do autor de incluir problemas resolvíveis em número suficiente para o estudante criar autoconfiança, mas também problemas difíceis que provocam o leitor a retornar a eles após avançar no texto. As resoluções não são apresentadas no próprio livro — existem materiais complementares produzidos por professores e estudantes ao longo dos anos, e a resolução sistemática é, segundo o próprio Elon, parte essencial do aprendizado.
Este livro é exigido para o exame de seleção do IMPA e de outras pós-graduações?
Não há um livro oficialmente exigido pelos programas de pós-graduação, mas Curso de Análise – Volume 1 é historicamente o texto mais utilizado para a preparação aos exames de seleção em Análise Real do IMPA, da UFRJ, da UNICAMP, da USP e da maioria dos grandes programas brasileiros. A estrutura conceitual das provas — em particular as questões sobre topologia da reta, continuidade, sequências e séries — está intimamente alinhada à abordagem do livro.
Existe um Volume 2 do Curso de Análise?
Sim. O Curso de Análise – Volume 2, também de Elon Lages Lima e publicado pelo IMPA na Coleção Projeto Euclides, dá continuidade ao primeiro volume tratando da Análise em várias variáveis: topologia do espaço euclidiano, cálculo diferencial em Rn, integrais múltiplas, formas diferenciais e aplicações. Os dois volumes formam o curso completo de Análise para a graduação avançada e a pós-graduação.
Ana Clara –
“Curso de Análise – Vol. 1” de Elon Lages Lima é simplesmente excepcional! A clareza com que ele explica conceitos complexos de análise é admirável. Os exemplos e exercícios variados realmente ajudam a solidificar o entendimento. Este livro é um recurso indispensável para qualquer estudante de matemática.
Ricardo Almeida –
Este livro é uma verdadeira obra-prima da matemática! Elon Lages Lima consegue tornar a análise matemática acessível e interessante. A estrutura lógica e os exercícios práticos são perfeitos para aprofundar o conhecimento. Recomendo fortemente para todos que desejam se aprofundar em análise.
Ana Clara –
Curso de Análise – Vol. 1 de Elon Lages Lima é incrível! A abordagem clara e didática sobre tópicos essenciais, como números reais, funções e limites, torna o aprendizado muito mais acessível. Adorei especialmente a explicação detalhada sobre continuidade e sequência de números reais, que são apresentadas de maneira lógica e objetiva. É, sem dúvida, uma leitura indispensável para quem quer dominar análise matemática!”
Ricardo Almeida –
Este livro é essencial para estudantes de matemática! Elon Lages Lima explica com excelência conceitos como conjuntos, funções e números reais. Os capítulos sobre limites e continuidade são extremamente bem estruturados e trazem exercícios que ajudam a fixar o aprendizado. Além disso, a parte de sequências de números reais é apresentada de forma clara e objetiva. Recomendo para todos que querem uma base sólida em análise