Curso de Análise – Vol.1

Descrição

Este volume foca nos conjuntos de números reais e funções reais de uma variável, abordando temas essenciais como conjuntos finitos, enumeráveis e não-enumeráveis, números reais, sequências e séries, topologia da reta, limites de funções, derivadas, a integral de Riemann, e sequências e séries de funções. Cada conceito é ilustrado com exemplos práticos e acompanhado de uma variedade de exercícios, proporcionando ao leitor uma prática abrangente e diversificada.

A estrutura do livro é meticulosamente organizada, começando com uma introdução informal e descritiva dos conceitos básicos e evoluindo para um ponto de vista axiomático nos capítulos subsequentes. Este estilo progressivo torna o material acessível tanto para iniciantes quanto para aqueles que possuem conhecimentos prévios de cálculo.

Entre os destaques do conteúdo, estão os capítulos sobre a integral de Riemann e a topologia da reta, onde Elon Lages Lima oferece uma exposição detalhada e clara dos fundamentos e teoremas fundamentais. A inclusão de exercícios ao final de cada capítulo permite ao leitor testar e consolidar seu entendimento, tornando este livro não apenas uma leitura informativa, mas também uma ferramenta prática de aprendizagem.

Elon Lages Lima, um dos mais respeitados matemáticos brasileiros, traz sua paixão pelo ensino e pela matemática para esta obra. Seu estilo didático e seu compromisso com a clareza e a precisão fazem de Curso de Análise – Vol. 1 um recurso indispensável para qualquer biblioteca matemática.

Elon Lages Lima, nascido em Maceió, é um renomado matemático brasileiro com uma carreira dedicada à pesquisa e ensino da matemática. Graduado em Matemática pela UFRJ e pós-graduado pela Universidade de Chicago, Lima foi um destacado pesquisador do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e ocupou posições de liderança em várias instituições científicas. Sua contribuição para a topologia e sua paixão por escrever livros didáticos de matemática o tornaram uma figura reverenciada no campo

Sumário

1 Conjuntos e Funções
1 Conjuntos
2 Operações entre conjuntos
3 Funções
4 Composição de funções
5 Famílias
Exercícios

2 Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis
1 Números naturais
2 Boa ordenação e o Segundo Princípio de Indução
3 Conjuntos finitos e infinitos
4 Conjuntos enumeráveis
5 Conjuntos não-enumeráveis
Exercícios

3 Números Reais
1 Corpos
2 Corpos ordenados
3 Números reais
Exercícios

4 Sequências e Séries de Números Reais
1 Sequências
2 Limite de uma sequência
3 Propriedades aritméticas dos limites
4 Subsequências
5 Sequências de Cauchy
6 Limites infinitos
7 Séries numéricas
Exercícios

5 Topologia da Reta
1 Conjuntos abertos
2 Conjuntos fechados
3 Pontos de acumulação
4 Conjuntos compactos
Exercícios

6 Limites de Funções
1 Definição e propriedades do limite
2 Exemplos de limites
3 Limites laterais
4 Limites no infinito
5 Valores de aderência de uma função; lim sup e lim inf
Exercícios

7 Funções Contínuas
1 A noção de função contínua
2 Descontinuidades
3 Funções contínuas em intervalos
4 Funções contínuas em conjuntos compactos
5 Continuidade uniforme
Exercícios

8 Derivadas
1 Definição e propriedades da derivada num ponto
2 Funções deriváveis num intervalo
3 Fórmula de Taylor
4 Série de Taylor, funções analíticas
Exercícios

9 Integral de Riemann
1 Integral superior e integral inferior
2 Funções integráveis
3 O Teorema Fundamental do Cálculo
4 Fórmulas clássicas do Cálculo Integral
5 A integral como limite de somas
6 Caracterização das funções integráveis
7 Logaritmos e exponenciais
Exercícios

10 Sequências e Séries de Funções
1 Convergência simples e convergência uniforme
2 Propriedades da convergência uniforme
3 Séries de potências
4 Funções analíticas
5 Equicontinuidade
Exercícios

Bibliografia
Índice de Notações
Índice de Autores
Índice Remissivo