Name: Cálculo em uma Variável Complexa
Brand: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA)
SKU: 10005
Availability: InStock
ISBN: 978-85-244-0579-2

Descrição

A Base Essencial da Teoria das Funções Complexas para a Graduação

O estudo das funções de uma variável complexa é um dos pilares da formação matemática avançada, oferecendo ferramentas indispensáveis não apenas para a matemática pura, mas também para aplicações diretas na física e nas engenharias. O livro Cálculo em uma Variável Complexa, escrito pelo professor Márcio Gomes Soares e publicado pelo renomado Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), apresenta essa teoria de forma elegante, objetiva e rigorosa. Integrante da respeitada Coleção Matemática Universitária, esta obra foi cuidadosamente desenhada para conduzir o estudante desde os conceitos elementares dos números complexos até os profundos resultados da Teoria de Cauchy e das aplicações conformes.

Seja você um estudante universitário buscando um texto-base sólido para a sua disciplina, um professor preparando aulas estruturadas ou um pesquisador que necessita revisar conceitos analíticos e topológicos no plano, este livro oferece o equilíbrio perfeito entre a clareza didática e o rigor matemático exigido no ensino superior.

Sobre o Livro

A proposta central de Cálculo em uma Variável Complexa é discorrer sobre os tópicos fundamentais da Teoria de Cauchy da maneira mais elementar e acessível possível, sem jamais abrir mão do rigor necessário para o entendimento correto dos resultados sobre funções holomorfas. O autor adota um ponto de vista pragmático, assumindo que o leitor já possui familiaridade com o Cálculo Real (de uma e duas variáveis), Geometria Analítica e Álgebra Linear, além de algum treino na leitura de argumentos matemáticos.

Para tornar a obra autossuficiente e independente, o autor dedica parte do texto a uma revisão cuidadosa de conceitos relativos ao Cálculo Real no plano, incluindo uma abordagem detalhada do Teorema de Green, fundamental para os capítulos subsequentes. O livro é construído de forma progressiva: começa com a álgebra e a geometria do corpo dos números complexos, avança para os aspectos topológicos dos domínios no plano e atinge seu ápice na integração complexa e na classificação de singularidades.

Um dos grandes diferenciais desta obra é a sua flexibilidade em sala de aula. O texto foi concebido para exigir a participação ativa tanto do professor quanto do aluno. Para turmas de Engenharia, o livro permite que o professor foque nas aplicações e nos métodos de cálculo, como a poderosa técnica de integração por resíduos. Já para turmas de Matemática e Física, a obra oferece a profundidade necessária para a exploração de demonstrações rigorosas, permitindo que teoremas como o de Casorati-Weierstrass, o Lema de Schwarz e a caracterização dos biholomorfismos do disco unitário sejam estudados em detalhes ou até mesmo apresentados em forma de seminários.

Sumário

1 Números Complexos

1.1 Introdução
1.2 O corpo C
1.3 Representação Polar
1.4 Exercícios

2 Cálculo no Plano

2.1 Domínios
2.2 Limites, Continuidade e Diferenciabilidade
2.3 O Teorema de Green
2.4 Exercícios

3 Funções Holomorfas

3.1 Funções Complexas
3.2 Limites e Continuidade
3.3 A Derivada Complexa
3.4 Funções Holomorfas
3.5 A Exponencial
3.6 O Logaritmo
3.7 Potências Arbitrárias
3.8 Exercícios

4 Séries

4.1 Sequências e Séries Numéricas
4.2 Séries de Potências
4.3 Exercícios
4.4 Apêndice: O Raio de Convergência

5 Teoria de Cauchy

5.1 Integração
5.2 Os Teoremas de Cauchy
5.3 Exercícios

6 Singularidades

6.1 A Expansão de Laurent
6.2 Classificação de Singularidades
6.3 Resíduos
6.4 O Teorema de Rouché
6.5 Uma interpretação Dinâmica do Resíduo
6.6 Cálculo de Integrais utilizando Resíduos
6.7 Exercícios

7 Aplicações Conformes

7.1 Preservação de Ângulos
7.2 A esfera C1
7.3 Transformações de Möbius
7.4 Aplicações conformes entre domínios de C
7.5 Aplicações conformes do disco no disco
7.6 Exercícios

Bibliografia

Índice Remissivo

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Informação adicional

Peso	0,600 kg
Dimensões	23 × 16 × 1 cm
Edição	6°
Editora	Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA)
Tipo de Capa	Capa comum
Páginas	208
Condição	Novo
Ano	2025
ISBN	978-85-244-0579-2
GTIN-13	9788524405792

Conteúdo Programático / Tópicos Abordados

A estrutura do livro é dividida em sete capítulos ricamente embasados, acompanhados de listas de exercícios estrategicamente selecionados para consolidar o aprendizado:

1. Números Complexos:
Introdução conceitual e histórica. O corpo C dos números complexos e suas propriedades operacionais. Representação polar, fórmula de De Moivre e extração de raízes. Exercícios de fixação.

2. Cálculo no Plano:
Revisão topológica: domínios, conjuntos abertos, fechados e fronteiras. Limites, continuidade e diferenciabilidade de funções de duas variáveis reais. Caminhos suaves e suaves por partes. O Teorema de Green e sua importância na integração.

3. Funções Holomorfas:
O conceito de funções complexas e a noção de limite e continuidade neste ambiente. A derivada complexa e as fundamentais Equações de Cauchy-Riemann. Definição e propriedades das funções holomorfas e inteiras. Estudo detalhado das funções elementares: a exponencial complexa, o logaritmo (ramos e natureza multiforme) e potências arbitrárias.

4. Séries:
Estudo de sequências e séries numéricas complexas. O critério de comparação e a convergência absoluta. Séries de potências, disco e raio de convergência. Diferenciação termo a termo e expansão em Série de Taylor. O princípio da identidade para séries de potências e o conceito de função analítica.

5. Teoria de Cauchy:
Integração de funções complexas ao longo de caminhos. A existência de primitivas. O Teorema de Cauchy-Goursat e suas consequências. A Fórmulas Integral de Cauchy, as estimativas de Cauchy, o Teorema de Liouville e o Teorema Fundamental da Álgebra. O Princípio do Módulo Máximo e o Teorema de Morera.

6. Singularidades:
A expansão de Laurent em anéis. Classificação rigorosa das singularidades isoladas: removíveis, polos e essenciais. O Teorema de Casorati-Weierstrass. A teoria dos Resíduos e o Teorema dos Resíduos de Cauchy. O Teorema de Rouché e o Princípio do Argumento. Cálculo de integrais reais impróprias e trigonométricas utilizando a técnica de resíduos.

7. Aplicações Conformes:
A propriedade de preservação de ângulos das funções holomorfas. A esfera de Riemann (esfera C_infty) e a projeção estereográfica. O estudo geométrico e analítico das Transformações de Möbius. Aplicações conformes entre domínios clássicos do plano complexo e o Lema de Schwarz aplicado aos biholomorfismos do disco unitário.

Para Quem é Este Livro

Este texto é altamente recomendado para alunos de graduação em Matemática (Bacharelado e Licenciatura), Física e Engenharias que estejam cursando a disciplina de Variáveis Complexas ou Análise Complexa. A linguagem adotada transita perfeitamente entre o rigor formal exigido pelo matemático e a clareza prática desejada pelo engenheiro e pelo físico. É também uma excelente fonte de revisão e nivelamento para ingressantes em programas de mestrado e doutorado nas ciências exatas.

Professores universitários encontrarão nesta obra da Coleção Matemática Universitária um material didático enxuto, que evita o excesso de exercícios repetitivos em favor de problemas essenciais que realmente testam e expandem a compreensão do aluno sobre a matéria.

Sobre o Autor

Márcio Gomes Soares é um respeitado matemático brasileiro com profunda experiência acadêmica e didática. É Professor Titular da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e obteve seu grau de Doutor pela prestigiada Universidade de Liverpool, no Reino Unido. Com uma carreira dedicada ao ensino superior e à pesquisa, atuou como presidente da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) entre os anos de 1993 e 1997. Sua área principal de pesquisa concentra-se nas questões geométricas da Teoria de Folheações Holomorfas, o que lhe confere uma autoridade ímpar para escrever sobre a análise complexa e suas ramificações geométricas.

Sobre a Editora IMPA

O Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) é a principal instituição de pesquisa matemática da América Latina e uma das mais respeitadas do mundo. Por meio de suas publicações, como a Coleção Matemática Universitária, o IMPA cumpre seu papel fundamental na disseminação do conhecimento científico de altíssima qualidade no Brasil. Os livros editados pelo IMPA são conhecidos por sua precisão técnica, excelência acadêmica e por formarem gerações de cientistas, pesquisadores e professores em todo o país.

Perguntas Frequentes

Qual é a edição que receberei ao realizar a compra?

Ao adquirir este produto, você receberá a 6ª edição da obra, publicada no ano de 2025. Trata-se da versão mais atualizada impressa pelo IMPA para esta importante obra.

Quais são os pré-requisitos para acompanhar a leitura deste livro?

O leitor deve ter familiaridade com o Cálculo Real (cálculo de uma e de várias variáveis), noções de Geometria Analítica e fundamentos de Álgebra Linear. O autor faz breves revisões de conceitos do plano, como o Teorema de Green, mas a base nos cursos de cálculo convencionais é essencial.

O livro possui exercícios resolvidos?

A filosofia da obra é evitar longas listas de exercícios repetitivos e focar em problemas essenciais que exigem reflexão. O livro apresenta exemplos ilustrativos no corpo do texto para guiar a teoria, mas os exercícios ao final de cada capítulo são propostos para resolução pelo estudante, visando a consolidação do rigor analítico.

Este livro é adequado para cursos de Engenharia?

Sim, perfeitamente. Conforme destacado pelo próprio autor, o livro permite que o professor foque nos métodos práticos e na resolução de integrais através da teoria de resíduos e aplicações conformes, tópicos de extrema importância para disciplinas de controle, processamento de sinais e eletromagnetismo nas engenharias.

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Cálculo em uma Variável Complexa

Márcio Gomes Soares