Descrição
Uma jornada rigorosa das integrais múltiplas às formas diferenciais e às grandes aplicações da análise vetorial
Análise Vetorial Clássica, de Felipe Acker, é um livro para quem deseja compreender a arquitetura conceitual que une integrais múltiplas, campos vetoriais, curvas, superfícies, formas diferenciais e os teoremas fundamentais do cálculo em várias variáveis. Publicada pela Sociedade Brasileira de Matemática na coleção Textos Universitários, a obra combina fundamentos, interpretação geométrica, motivação física e aplicações avançadas em um percurso que pode servir tanto ao estudante de graduação quanto ao leitor de pós-graduação ou ao professor universitário.
Mais do que apresentar fórmulas para resolver integrais de linha ou de superfície, Felipe Acker investiga por que os resultados clássicos funcionam e como os teoremas de Green, Kelvin-Stokes e Gauss-Ostrogradski se relacionam. O fio condutor conduz o leitor da integral de Riemann à derivada exterior, preservando a intuição geométrica e abrindo caminhos para a topologia, a análise complexa, as equações diferenciais parciais, a mecânica dos fluidos e o eletromagnetismo.
Sobre o livro Análise Vetorial Clássica
A obra nasceu da experiência do autor com disciplinas de Matemática Aplicada na UFRJ. Em seu prefácio, Acker explica que procurou construir uma passagem entre duas abordagens que muitas vezes aparecem separadas na formação universitária: de um lado, o tratamento vetorial dos teoremas clássicos em dimensão três; de outro, a linguagem das formas diferenciais, mais comum em cursos avançados. O resultado é um texto de personalidade própria, que apresenta a teoria como resposta a questões geométricas e físicas, e não apenas como uma sequência de definições formais.
O livro está organizado em quatro grandes partes. A primeira desenvolve as integrais múltiplas, começando pela integral de Riemann e avançando por integrais iteradas, mudanças de variáveis, determinantes, integrais impróprias, convergência e resultados teóricos de maior profundidade. A segunda entra na análise vetorial clássica, trabalhando campos conservativos, integrais de linha e de superfície, curvas, superfícies, cadeias e os teoremas de Kelvin-Green e Gauss-Ostrogradski. A terceira apresenta as formas diferenciais em Rn, o pullback, a derivada de Lie, a derivada exterior e a dualidade entre formas e cadeias. A quarta transforma a teoria em instrumento para explorar uma ampla coleção de aplicações matemáticas e físicas.
Um dos diferenciais do texto é a forma como a derivada exterior é motivada. Em vez de surgir apenas como uma fórmula algébrica envolvendo derivadas parciais, ela é construída a partir de ideias relacionadas a fluxo e densidade de fluxo. Essa escolha ajuda o leitor a perceber a relação entre a noção de derivada, a geometria dos objetos integrados e os teoremas fundamentais. O livro também distingue cuidadosamente conceitos que, em tratamentos mais rápidos, podem parecer indistinguíveis, como diferenciabilidade e derivabilidade no sentido desenvolvido pelo autor.
A apresentação não exige uma única ordem de leitura. O próprio livro inclui um manual de instruções com diferentes percursos. Quem deseja uma visão inicial pode concentrar-se nos capítulos 1 e 4; um curso de graduação pode combinar os capítulos introdutórios com exercícios e aplicações; leitores mais experientes podem avançar diretamente para as seções em que aparecem as contribuições conceituais mais particulares da obra. Essa estrutura torna o volume útil para disciplinas regulares, estudo dirigido, consulta temática e aprofundamento individual.
O texto também convida o leitor a participar ativamente. Questões, demonstrações e problemas aparecem ao longo dos capítulos, frequentemente como parte essencial do desenvolvimento. Em vez de oferecer uma leitura automática, Acker incentiva a reconstrução dos argumentos e a comparação com outras referências. As aplicações não são tratadas como apêndices decorativos: elas ajudam a mostrar os problemas matemáticos e físicos que motivam a própria teoria.
Sumário
- Prefácio
- Manual de instruções
Parte I — Integrais Múltiplas
Capítulo 1 — Introdução
- a) A integral de Riemann
- b) Critério de integrabilidade
- c) Integrais iteradas
- d) Mudanças de variáveis
- e) Integral e determinante
- f) O determinante
- g) Comentário sobre os integrandos
- h) Integrais impróprias
- i) Integral e convergência
- j) Um exemplo
Capítulo 2 — Exercícios e Aplicações
- a) Integrais de Superfície
- b) Exercícios
Capítulo 3 — Um pouco mais de teoria
- a) Conjuntos de medida nula
- b) Integrais iteradas
- c) Mudanças de variáveis
- d) Teorema de Sard, versão elementar
- e) Integral e convergência
- f) Regularização
Parte II — Análise Vetorial Clássica
Capítulo 4 — Introdução
- a) Campos Conservativos e Integrais de Linha
- b) Integrais de Superfície
- c) O Teorema de Kelvin
- d) A variação de ângulo
- e) O Teorema Fundamental da Álgebra
- f) O Teorema de Gauss-Ostrogradski
- g) “O Campo”
- h) Pausa para reflexão: será que é tudo um Teorema só?
- i) Ideias sobre a derivada
- j) Uma nova derivada
- k) O Teorema do Valor Médio
- l) O Teorema de Green revisitado
Capítulo 5 — Os objetos: curvas, superfícies e cadeias
- a) Curvas e superfícies
- b) Curvas e superfícies parametrizadas
- c) Cadeias
- d) O bordo
Capítulo 6 — Os Teoremas
- a) Kelvin-Green
- b) Gauss-Ostrogradski
- c) Um outro ponto de vista
Capítulo 7 — O Lema de Volterra
- a) Os dois Teoremas Fundamentais do Cálculo
- b) O Lema de Poincaré
- c) O Lema de Volterra
- d) O Lema de Homotopia
Parte III — Formas Diferenciais em Rⁿ
Capítulo 8 — Os integrandos: formas diferenciais
- a) Campos de vetores e 1-formas
- b) Formas Diferenciais
- c) Redefinindo a integral
- d) Integrais de superfície
- e) A integral de uma forma sobre uma cadeia
- f) A notação de formas diferenciais
- g) O pullback
- h) Campos
- i) Formas diferenciais em Rⁿ, exemplos básicos
Capítulo 9 — O Teorema da Divergência clássico
- a) (N−1)-Formas em Rⁿ
- b) O bordo de um bloco
- c) O Teorema
Capítulo 10 — O Teorema de Stokes, versão clássica
- a) O teorema
- b) Cálculo com coordenadas
Capítulo 11 — A Derivada de Lie e a Fórmula de Élie
- a) O Teorema de Kelvin
- b) O Lema Básico
- c) O Teorema dito de Stokes
- d) A derivada de Lie
- e) A Fórmula de Élie
Capítulo 12 — A Derivada e seu Teorema
- a) A divergência e a densidade de fluxo
- b) O rotacional
- c) A divergência
- d) O Teorema do Valor Médio
- e) O Teorema da Divergência
- f) A Derivada Exterior
- g) O Teorema
- h) Duas propriedades da derivada
Capítulo 13 — Formas × Cadeias
- a) Introdução
- b) A dualidade entre formas e cadeias
- c) O grupo das k-cadeias
- d) O espaço vetorial das k-formas
Capítulo 14 — O Lema de Volterra-Cartan
- a) Primeiras ideias
- b) Homotopias
- c) O lema de Volterra-Cartan
Parte IV — Aplicações
- Capítulo 15 — O índice de uma curva
- Capítulo 16 — O Teorema de Brouwer
- Capítulo 17 — O Teorema da bola cabeluda
- Capítulo 18 — Algumas questões topológicas
- Capítulo 19 — Homologia × Homotopia
- Capítulo 20 — Um pouco mais de homologia no plano
- Capítulo 21 — Funções de variável complexa
- Capítulo 22 — A Transformada de Laplace
- Capítulo 23 — O Operador de Laplace
- Capítulo 24 — Difusão
- Capítulo 25 — Funções Harmônicas e a Equação de Laplace
- Capítulo 26 — O Problema de Dirichlet na bola
- Capítulo 27 — Mecânica dos Fluidos
- Capítulo 28 — O Tensor de Cauchy
- Capítulo 29 — O Rotacional e as rotações
- Capítulo 30 — A decomposição de um campo de velocidades
- Capítulo 31 — Sistemas Hamiltonianos
- Capítulo 32 — Equações de Maxwell
- Capítulo 33 — Construção de campo, dados o Rotacional e a Divergência
- Referências
- Índice remissivo
Por que comprar na Livros de Matemática
A Livros de Matemática é uma livraria especializada em obras para o estudo, o ensino e a pesquisa em Matemática. Essa especialização facilita a escolha de títulos por assunto, nível de formação e objetivo acadêmico, além de valorizar informações bibliográficas precisas. Ao adquirir Análise Vetorial Clássica, você recebe o livro correspondente ao cadastro da 1ª edição da SBM, publicada em 2012, com 490 páginas e ISBN 978-85-85818-50-0.
Antes de concluir a compra, consulte no carrinho as opções de envio, o prazo estimado e as condições aplicáveis ao seu endereço. Em caso de dúvida sobre a adequação do livro ao seu curso ou plano de estudos, a equipe da Livros de Matemática pode orientar a escolha com a atenção própria de uma loja dedicada ao público matemático.
Construa uma compreensão integrada da análise vetorial
Compre Análise Vetorial Clássica, de Felipe Acker, e avance por um percurso que liga cálculo, geometria e física sem reduzir os grandes teoremas a simples técnicas de integração. É uma obra para estudar com tempo, retornar a capítulos importantes e descobrir como ideias clássicas ganham unidade por meio das formas diferenciais e de suas aplicações. Garanta seu exemplar da edição da SBM e acrescente à sua biblioteca uma referência brasileira singular para o estudo da análise vetorial.
Não há avaliações ainda.