Matemática e Atualidade – Volume 1

Descubra a matemática que torna possíveis o GPS, a robótica, a criptografia, o PageRank e outras tecnologias do cotidiano

Matemática e Atualidade Volume 1 é uma obra para quem deseja compreender como conceitos de geometria, álgebra linear, probabilidade, teoria dos números, corpos finitos e cálculo aparecem em problemas reais da ciência e da tecnologia. Em vez de apresentar aplicações artificiais ou exemplos apenas ilustrativos, Christiane Rousseau e Yvan Saint-Aubin partem de questões concretas e desenvolvem, passo a passo, a matemática necessária para investigá-las com profundidade.

Publicado pela Sociedade Brasileira de Matemática na Coleção PROFMAT, o livro aproxima teoria e prática em nove capítulos independentes. O leitor encontra aplicações ligadas a sistemas de posicionamento, detecção de raios, cartografia, padrões geométricos, movimento de robôs, radiocirurgia, finanças, transmissão segura de informações, criptografia, geração de números aleatórios e mecanismos de busca. É uma leitura especialmente valiosa para estudantes de Matemática, licenciandos, professores, participantes do PROFMAT e leitores interessados em modelagem matemática e tecnologia.

Dados da edição: 2ª edição, 2021, 332 páginas, ISBN 9788583371724, tradução de Miguel V. S. Frasson e publicação da SBM.

Sobre o Livro Matemática e Atualidade Volume 1

A pergunta que orienta Matemática e Atualidade — Volume 1 é tão simples quanto importante: para que serve a Matemática? Os autores mostram que uma resposta consistente exige mais do que curiosidades rápidas. É necessário compreender como diferentes ideias matemáticas se combinam para modelar situações, resolver problemas e sustentar tecnologias que fazem parte da vida contemporânea.

A obra nasceu da experiência dos autores com a disciplina “Matemática e Tecnologia”, criada na Universidade de Montreal para alunos de graduação e futuros professores. Essa origem acadêmica aparece na organização dos capítulos. Primeiro, o problema e sua aplicação são apresentados; em seguida, casos mais simples ajudam a construir a intuição; depois, o texto desenvolve as ferramentas matemáticas necessárias e avança para situações de maior complexidade. O resultado é uma exposição que preserva o rigor sem perder de vista a motivação concreta de cada conceito.

Os capítulos podem ser lidos de forma independente, o que permite montar percursos de estudo conforme os interesses do leitor ou os objetivos de uma disciplina. No início de cada capítulo, orientações indicam conhecimentos prévios, relações entre as seções, grau de dificuldade e possibilidades de organização do tempo de aula. Ao final, conjuntos de exercícios estimulam demonstração, cálculo, interpretação, modelagem e resolução de problemas, enquanto referências adicionais ajudam a aprofundar os assuntos.

Outro diferencial é a integração entre áreas que muitas vezes são ensinadas separadamente. Geometria euclidiana, matrizes, autovalores, probabilidade, aritmética modular, teoria dos números, sequências e cálculo deixam de aparecer como tópicos isolados e passam a funcionar como um conjunto de ferramentas. Essa perspectiva ajuda o estudante a perceber a unidade da Matemática e oferece ao professor exemplos consistentes para discutir aplicações reais em sala de aula.

Sumário

 

Prefácio da Edição Brasileira vi
Prefácio x

Posicionando na Terra e no espaço 1
1.1 Introdução 2
1.2 Sistema de Posicionamento Global 3
1.2.1 Alguns fatos sobre o GPS 3
1.2.2 A teoria por trás do GPS 4
1.2.3 Lidando com dificuldades práticas 7
1.3 Trovões e tempestades 14
1.3.1 Localizando relâmpagos 14
1.3.2 Limites e qualidade da detecção de raios 18
1.3.3 Gerenciamento de risco a longo prazo 21
1.4 Registradores de deslocamento linear 22
1.4.1 A estrutura do corpo Fr2 26
1.4.2 Demonstração do Teorema 5 29
1.5 Cartografia 32
Exercícios 43

Frisos e mosaicos 51
2.1 Frisos e simetrias 53
2.2 Grupo de simetria e transformações afins 60
2.3 O Teorema de Classificação 67
2.4 Mosaicos 73
Exercícios 77

Movimento de robôs 93
3.1 Introdução 94
3.1.1 Movendo um sólido no plano 97
3.1.2 Algumas reflexões sobre o número de graus de liberdade 99
3.2 Movimentos que preservam distâncias e ângulos no plano e espaço 100
3.3 Propriedades das matrizes ortogonais 105
3.4 Mudança de base 116
3.5 Diversos referenciais para um robô 119
Exercícios 125

Esqueletos e radiocirurgia com raios gama 131
4.1 Introdução 132
4.2 Definição de esqueletos de regiões bidimensionais 133
4.3 Regiões tridimensionais 144
4.4 O algoritmo cirúrgico ótimo 147
4.5 Um algoritmo numérico 150
4.5.1 A primeira parte do algoritmo 151
4.5.2 Segunda parte do algoritmo 155
4.5.3 Demonstração da Proposição 18 156
4.6 Outras aplicações do esqueleto 159
4.7 A propriedade fundamental do esqueleto 160
Exercícios 165

Economias e empréstimos 171
5.1 Vocabulário bancário 172
5.2 Juro composto 173
5.3 Um plano de previdência 176
5.4 Tomando empréstimos 179
5.5 Apêndice: tabelas de pagamento hipotecário 182
Exercícios 185

Códigos corretores de erros 189
6.1 Introdução: digitalizando, detectando e corrigindo 190
6.2 O corpo finito F2 195
6.3 O código de Hamming C(7,4) 196
6.4 Os códigos de Hamming C(2^k – 1, 2^k – k – 1) 200
6.5 Corpos finitos 203
6.6 Códigos de Reed–Solomon 214
6.7 Apêndice: o produto escalar em corpos finitos 220
Exercícios 221

Criptografia de chave pública: RSA 231
7.1 Introdução 232
7.2 Algumas ferramentas da teoria dos números 234
7.3 A ideia por trás do RSA 237
7.4 Construindo primos grandes 247
7.5 Quebrando RSA: o algoritmo de Shor para fatorar inteiros grandes 260
Exercícios 264

Geradores de números aleatórios 271
8.1 Introdução 272
8.2 Registradores de deslocamento linear 277
8.3 Geradores Fp-lineares 281
8.3.1 O caso p = 2 281
8.3.2 Uma lição nas máquinas de jogo 287
8.3.3 O caso geral 288
8.4 Múltiplos geradores recursivos combinados 290
8.5 Conclusão 292
Exercícios 293

Google e o algoritmo PageRank 301
9.1 Motores de busca 302
9.2 A web e cadeias de Markov 305
9.3 Um PageRank melhorado 317
9.4 O Teorema de Frobenius 320
Exercícios 324

Uma Abordagem Didática Baseada em Modelagem e Resolução de Problemas

O livro não se limita a enumerar onde a Matemática é usada. Ele reconstrói o caminho que liga um problema concreto ao modelo, às hipóteses adotadas, às ferramentas escolhidas e às limitações da solução. Essa abordagem permite compreender tanto o alcance quanto os limites da modelagem matemática. Em vários momentos, os autores mostram que situações reais exigem aproximações, escolhas de representação e integração entre teoria, dados e condições práticas.

Os exercícios acompanham essa proposta. Há questões conceituais, demonstrações, cálculos e investigações contextualizadas, incluindo navegação, detecção de eventos, projeções cartográficas, sequências, códigos e problemas geométricos. Notas históricas e referências de aprofundamento completam o estudo, ajudando o leitor a enxergar cada aplicação como parte de um desenvolvimento científico mais amplo.

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Matemática e Atualidade — Volume 1 é uma escolha valiosa para quem quer ir além da teoria isolada e compreender como ideias matemáticas se articulam para explicar, modelar e aperfeiçoar tecnologias reais. Com nove aplicações detalhadas, capítulos independentes e exercícios que estimulam investigação, a obra oferece material sólido para graduação, formação docente, PROFMAT e estudo autônomo. Adquira seu exemplar e descubra a Matemática em ação no mundo contemporâneo.