Otimização Vol. 2 – Métodos Computacionais

Otimização — Volume 2, de Alexey Izmailov e Mikhail Solodov, é uma obra universitária dedicada ao estudo dos métodos computacionais de otimização e da programação matemática. Publicado pelo IMPA, o livro apresenta uma abordagem abrangente que conecta fundamentos matemáticos, análise de convergência e algoritmos para problemas irrestritos, restritos, não diferenciáveis e de programação matemática.

Com 494 páginas, esta 3ª edição, de 2018, oferece um percurso organizado em seis capítulos. A exposição começa pelos conceitos necessários para compreender a existência de soluções, as condições de otimalidade, a convexidade e a dualidade. Em seguida, avança para métodos unidimensionais, técnicas de descida, métodos de Newton e quase-Newton, regiões de confiança, métodos para problemas com restrições, otimização não diferenciável e programação linear e quadrática.

O livro é indicado para estudantes e profissionais que desejam construir uma compreensão matemática consistente dos algoritmos de otimização. Em vez de tratar os métodos apenas como procedimentos computacionais, os autores apresentam as ideias teóricas que explicam seu funcionamento, suas condições de aplicação, sua convergência e suas limitações. O resultado é uma referência universitária especialmente relevante para disciplinas de otimização, programação matemática, otimização numérica e métodos computacionais.

O ISBN-13 desta edição é 978-85-244-0454-2. O cadastro informa Volume 2, 3ª edição, publicação em 2018 pelo IMPA.

Sobre o Livro

A otimização está presente em problemas de planejamento, engenharia, economia, ciência de dados, pesquisa operacional e diversas áreas da matemática aplicada. Entretanto, aplicar um algoritmo de maneira responsável exige mais do que conhecer uma fórmula ou seguir uma sequência de passos. É necessário compreender a estrutura do problema, saber quando uma solução existe, identificar condições de otimalidade e avaliar o comportamento do método utilizado.

É nesse contexto que Otimização — Volume 2 desenvolve seu conteúdo. A obra combina resultados de análise matemática e álgebra linear com o estudo de métodos destinados a encontrar soluções de problemas de otimização. O leitor encontra uma progressão que parte dos fundamentos e chega a algoritmos clássicos e modernos, sempre com atenção aos conceitos de convergência, às taxas de convergência e às regras de parada.

O tratamento contempla tanto problemas em que a função objetivo é diferenciável quanto situações em que derivadas não estão disponíveis ou não podem ser utilizadas diretamente. Também são discutidos problemas com restrições, nos quais a solução deve respeitar condições de igualdade ou desigualdade. Essa amplitude torna o volume adequado para uma formação mais completa em otimização computacional.

A organização do livro favorece a consulta e o estudo gradual. A lista de notações ajuda o leitor a acompanhar a linguagem matemática empregada, enquanto as referências bibliográficas e o índice remissivo ampliam a utilidade da obra como material de estudo e pesquisa.

Sumário

• Prefácio
• Lista de Notações
• 1 Resumo da Teoria de Otimização
  • 1.1 Existência de soluções
  • 1.2 Condições de otimalidade
  • 1.3 Convexidade
  • 1.4 Dualidade
  • 1.5 Alguns resultados da Análise e da Álgebra Linear
  • 1.6 Elementos da Análise não-diferenciável
• 2 Introdução aos Métodos de Otimização
  • 2.1 Classificação dos métodos. Noções de convergência
  • 2.2 Taxas de convergência. Regras de parada
  • 2.3 Métodos de otimização uni-dimensional
    • 2.3.1 Método de comparação de pontos de rede
    • 2.3.2 Método de bisseção. Método da seção áurea
    • 2.3.3 Interpolação polinomial
• 3 Otimização Irrestrita
  • 3.1 Métodos de descida
    • 3.1.1 Esquema geral dos métodos de descida
      • Busca linear
    • 3.1.2 O método do gradiente
  • 3.2 O método de Newton. Métodos quase-Newton
    • 3.2.1 O método de Newton para equações
    • 3.2.2 Método de Newton para otimização irrestrita
    • 3.2.3 Métodos quase-Newton
  • 3.3 Estratégias de globalização de métodos Newtonianos
    • 3.3.1 Métodos com busca linear
    • 3.3.2 Métodos de regiões de confiança
    • 3.3.3 Métodos de continuação paramétricos
  • 3.4 Métodos de direções conjugadas
    • 3.4.1 Métodos de direções conjugadas para funções quadráticas
    • 3.4.2 O método dos gradientes conjugados
  • 3.5 Métodos que não utilizam derivadas
• 4 Métodos para Otimização com Restrições
  • 4.1 Métodos para conjuntos viáveis de estrutura simples
    • 4.1.1 Métodos do gradiente projetado
    • 4.1.2 Direções viáveis e métodos de descida
    • 4.1.3 Método do gradiente restrito. Método de Newton restrito
  • 4.2 Métodos de direções viáveis
  • 4.3 Métodos de penalização
    • 4.3.1 Penalização externa
    • 4.3.2 Penalização externa exata
    • 4.3.3 Penalização interna. Métodos de barreiras
  • 4.4 Métodos para problemas com restrições de igualdade
    • 4.4.1 Métodos de Newton para o sistema de Lagrange
    • 4.4.2 O método de penalização quadrática
    • 4.4.3 Lagrangianas aumentadas
    • 4.4.4 Penalização exata diferenciável
  • 4.5 Métodos para problemas com restrições de desigualdade
    • 4.5.1 Métodos de Newton generalizados
    • 4.5.2 Métodos de Newton generalizados para o sistema de Karush-Kuhn-Tucker
    • 4.5.3 Métodos de penalização quadrática
    • 4.5.4 Lagrangianas aumentadas
    • 4.5.5 Penalização exata diferenciável
  • 4.6 Programação quadrática seqüencial
    • 4.6.1 Restrições de igualdade
    • 4.6.2 Restrições de igualdade e desigualdade
    • 4.6.3 Globalização de convergência de SQP
    • 4.6.4 Efeito de Maratos. Restauração da convergência local superlinear
    • 4.6.5 Outras técnicas de globalização
  • 4.7 Identificação das restrições ativas
    • 4.7.1 Identificação baseada em estimativas de distância à solução
    • 4.7.2 Estimativas de distância à solução
• 5 Métodos para otimização não-diferenciável
  • 5.1 Métodos de subgradiente
  • 5.2 O método de planos cortantes
  • 5.3 Métodos de feixe
• 6 Programação linear e quadrática
  • 6.1 Programação linear
    • 6.1.1 Elementos de teoria da programação linear
    • 6.1.2 O método do simplex
    • 6.1.3 métodos de pontos interiores
  • 6.2 Programação quadrática
    • 6.2.1 Pontos especiais
    • 6.2.2 O método de pontos especiais
• Referências Bibliográficas
• Índice Remissivo

Conclusão

Otimização — Volume 2 reúne fundamentos matemáticos e métodos computacionais para o estudo universitário de otimização, programação matemática e problemas relacionados.

Com autoria de Alexey Izmailov e Mikhail Solodov, publicação do IMPA e organização em seis capítulos, o livro oferece uma base ampla para estudantes e leitores do ensino superior interessados em compreender não apenas como aplicar métodos de otimização, mas também por que eles funcionam e como analisar seu comportamento.