Introdução às Curvas Algébricas Planas

Descrição

A obra introduz conceitos elementares e avança gradualmente para temas mais complexos, como o Teorema de Bézout, que é o ponto central da narrativa. Desde a definição e análise de curvas como subconjuntos geométricos, até a investigação de propriedades funcionais das curvas, o livro oferece uma visão abrangente e conectada entre os aspectos geométricos e algébricos.

Destaques do Conteúdo

• História e Definições Preliminares: Uma introdução contextualizada com exemplos clássicos, como cônicas e curvas projetivas.
• Intersecções e Resultados Centrais: Análise detalhada de interseções entre curvas e aplicação do Teorema dos Zeros de Hilbert.
• Teorema de Bézout: Apresentado com rigor, incluindo conceitos como multiplicidade e pontos no infinito.
• Curvas no Plano Projetivo: Introdução ao plano projetivo e suas implicações para o estudo de curvas algébricas.
• Propriedades Avançadas: Discussões sobre fórmulas de Plücker, curvas racionais e cúbicas não singulares.

Além disso, a obra inclui um apêndice com fundamentos de álgebra, como o lema de Gauss e propriedades de fatoração única, para facilitar a compreensão dos temas abordados.

Pontos Fortes

• Didática Clara: O autor combina teoria, exemplos e exercícios que ajudam o leitor a desenvolver uma compreensão sólida e prática.
• Conexão entre Teoria e Geometria: O livro destaca como propriedades geométricas se traduzem em resultados algébricos, promovendo uma visão integrada.
• Cobertura Abrangente: Ideal para um curso de um semestre ou como base para estudos avançados em geometria algébrica.

Introdução às Curvas Algébricas Planas é uma obra indispensável para quem deseja mergulhar no universo da geometria algébrica. Seja você um estudante iniciando na área ou um pesquisador buscando aprofundar conhecimentos, o livro de Israel Vainsencher oferece as ferramentas e insights necessários para explorar as belas e intrigantes propriedades das curvas algébricas.

Sobre o autor

Israel Vainsencher é um matemático respeitado, com vasta experiência em pesquisa e ensino. Sua habilidade em traduzir conceitos abstratos em ideias claras e acessíveis reflete-se em suas obras, que são amplamente utilizadas na formação de matemáticos em todo o Brasil. Vainsencher combina rigor acadêmico com uma abordagem didática, tornando seus textos referência em suas áreas de estudo.

Essa obra é um marco para os interessados em geometria algébrica, repleta de insights matemáticos e aplicações fascinantes.

Sumário

1 Definições Preliminares e Exemplos
1   Um pouco de história
2   Equação de uma curva algébrica
3   Mudança de coordenadas

2 Interseções de Curvas Planas
1   Finitude da interseção
2   A resultante
3   O grau da resultante
4   O teorema dos zeros

3 Multiplicidades
1   Interseção de uma curva com uma reta
2   Pontos múltiplos
3   Diagrama de Newton

4 Pontos no infinito
1   O plano projetivo
2   Espaços projetivos
3   Curvas projetivas
4   Mudança de coordenadas projetivas

5 Interseção de Curvas
1   Interseção de reta e curva, agora projetivas
2   O teorema de Bézout

6 Propriedades do Índice
1   As propriedades características
2   Séries de potências

7 Fórmulas de Plücker
1   Curvas polares
2   A hessiana

8 Curvas Racionais
1   Curvas racionais afins
2   Funções regulares e funções racionais
3   O teorema de Lüroth
4   Curvas racionais projetivas
5   O gênero virtual
6   Aplicação ao cálculo integral
7   Curvas de Bézier

9 Cúbicas não Singulares
1   Conexões inesperadas
2   Forma normal
3   Funções racionais
4   Ciclos e equivalência racional
5   A estrutura de grupo

10 Apêndice
1   Anéis, ideais e homomorfismos
2   Polinômios
3   Domínios de fatoração única e lema de Gauss
4   Extensões de corpos