Introdução à Álgebra

Descrição

Sobre o Livro Introdução à Álgebra

Introdução à Álgebra é uma obra cuidadosamente estruturada pelo professor Adilson Gonçalves, baseada em sua vasta experiência docente na Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). O livro apresenta uma abordagem didática e progressiva, ideal para estudantes de graduação em Matemática (bacharelado ou licenciatura) e professores que desejam aprofundar seus conhecimentos.

Com uma estrutura que parte de conceitos básicos e avança gradualmente em complexidade, o livro guia o leitor por uma jornada completa pelos fundamentos da álgebra, culminando no Teorema Fundamental de Galois. A obra aborda desde noções preliminares como conjuntos, funções e relações de equivalência, até tópicos avançados como teoria dos grupos, anéis, corpos e polinômios.

O diferencial desta obra está na sua abordagem didática equilibrada, que combina rigor matemático com clareza de exposição, tornando conceitos complexos acessíveis sem perder a profundidade necessária. Os exercícios cuidadosamente selecionados complementam o aprendizado e permitem ao leitor testar seus conhecimentos progressivamente.

Conteúdo Detalhado e Tópicos Abordados

Estrutura Didática Progressiva

O livro está organizado em sete capítulos que seguem uma sequência lógica de aprendizado, permitindo ao leitor construir seu conhecimento de forma sólida:

1. Noções Preliminares: Aborda conceitos fundamentais como conjuntos, funções, relações de equivalência e operações binárias, estabelecendo a base para os tópicos mais avançados.
2. Os Números Inteiros: Explora propriedades elementares, algoritmo da divisão, ideais, números primos, fatorização única e os anéis Z_n, criando paralelos importantes para o estudo posterior de estruturas algébricas.
3. Anéis, Ideais e Homomorfismos: Apresenta definições, exemplos, subanéis, ideais, anéis quocientes, homomorfismos e o corpo de frações de um domínio, aprofundando o entendimento de estruturas algébricas.
4. Polinômios em Uma Variável: Estuda definições, algoritmo da divisão, ideais principais, máximo divisor comum, polinômios irredutíveis, fatorização única e o critério de Eisenstein, estabelecendo analogias com o anel dos inteiros.
5. Extensões Algébricas dos Racionais: Aborda adjunção de raízes, corpo de decomposição de polinômios, grau de extensões e construções por meio de régua e compasso, conectando álgebra e geometria.
6. Grupos: Explora definições, exemplos, subgrupos, classes laterais, classes de conjugação, grupos quocientes, homomorfismos e a simplicidade dos grupos A_n para n ≥ 5.
7. Teoria de Galois Elementar: Culmina com extensões galoisianas, extensões normais, a correspondência de Galois e solubilidade por meio de radicais, apresentando a solução para o histórico problema das fórmulas para raízes de polinômios.

Problemas Clássicos e Aplicações

O livro aborda os clássicos problemas matemáticos que fascinaram gerações de estudiosos:

• Duplicação do cubo: Por que não é possível construir, usando apenas régua e compasso, um cubo com o dobro do volume de um cubo dado.
• Quadratura do círculo: A impossibilidade de construir, com régua e compasso, um quadrado com área igual à de um círculo dado.
• Trisseção do ângulo: Por que não é possível, em geral, dividir um ângulo em três partes iguais usando apenas régua e compasso.
• Teorema de Gauss: Caracterização dos números naturais n ≥ 3 cujos polígonos regulares de n lados podem ser construídos com régua e compasso.

Sumário

1 Noções preliminares
1.1 Conjuntos
1.2 Funções
1.3 Relação de equivalência
1.4 Produto cartesiano e operação binária em um conjunto

2 Os números inteiros
2.1 Propriedades elementares
2.2 Boa ordenação e algoritmo da divisão
2.3 Ideais e M.D.C.
2.4 Números primos e ideais maximais
2.5 Fatoração única
2.6 Os anéis Z_n

3 Anéis, ideais e homomorfismos
3.1 Definição e exemplos
3.2 Subanéis
3.3 Ideais e anéis quocientes
3.4 Homomorfismo de anéis
3.5 O corpo de frações de um domínio

4 Polinômios em uma variável
4.1 Definição e exemplos
4.2 O algoritmo da divisão
4.3 Ideais principais e máximo divisor comum
4.4 Polinômios irredutíveis e ideais maximais
4.5 Fatoração única
4.6 O critério de Eisenstein

5 Extensões algébricas dos racionais
5.1 Adjunção de raízes
5.2 Corpo de decomposição de um polinômio
5.3 Grau de uma extensão
5.4 Construção por meio de régua e compasso

6 Grupos
6.1 Definição e exemplos
6.2 Subgrupos e classes laterais
6.3 Classes de conjugação
6.4 Grupos quocientes e homomorfismo de grupos
6.5 A simplicidade dos grupos A_n , n ≥ 5

7 Teoria de Galois elementar
7.1  Extensões galoisianas e extensões normais
7.2  A correspondência de Galois
7.3  Solubilidade por meio de radicais

Sobre o Autor Adilson Gonçalves

Adilson Gonçalves é um matemático brasileiro com sólida formação acadêmica e vasta experiência docente. Nascido em Bangu, Rio de Janeiro, construiu uma carreira acadêmica notável:

• Licenciado pela Faculdade Nacional de Filosofia
• Mestre pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA)
• Doutor pela Universidade de Chicago

Sua trajetória profissional inclui posições como professor na Universidade de Brasília, na Universidade Federal de Pernambuco e na Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). Especialista em Álgebra, com foco em Teoria dos Grupos, é autor de um texto sobre Representação de Grupos e co-autor de outro sobre Álgebra Linear.

A experiência docente e o profundo conhecimento do autor se refletem na qualidade didática e no rigor matemático desta obra, que se tornou referência para estudantes e professores de matemática em todo o Brasil.

Público-Alvo e Aplicações

Para Quem é Este Livro?

• Estudantes de Graduação em Matemática: Material essencial para disciplinas de Álgebra em cursos de bacharelado e licenciatura.
• Professores de Matemática: Recurso valioso para aprofundamento e preparação de aulas sobre tópicos algébricos.
• Estudantes de Pós-Graduação: Base sólida para quem inicia estudos avançados em Álgebra e áreas correlatas.
• Participantes de Olimpíadas de Matemática: Referência para aprofundamento em tópicos algébricos frequentes em competições.
• Profissionais de áreas técnicas: Engenheiros, físicos e cientistas da computação que necessitam de fundamentos sólidos em estruturas algébricas.

Aplicações Práticas dos Conhecimentos

O domínio dos conceitos apresentados neste livro proporciona:

• Base teórica para criptografia e segurança de dados
• Fundamentos para teoria de códigos e correção de erros
• Aplicações em física teórica e mecânica quântica
• Ferramentas para resolução de problemas em ciência da computação
• Compreensão de estruturas fundamentais utilizadas em diversas áreas da matemática aplicada

Por Que Comprar na Livros de Matemática?

Diferenciais Exclusivos

• Entrega Rápida e Segura: Receba seu livro em tempo recorde, com embalagem especial que protege o material durante o transporte.
• Parcelamento em até 3x sem juros: Facilidade de pagamento exclusiva para facilitar seu acesso ao conhecimento matemático.
• Atendimento Especializado: Nossa equipe é formada por especialistas em matemática, prontos para esclarecer dúvidas sobre o conteúdo e indicar materiais complementares.
• Garantia de Procedência: Trabalhamos diretamente com as melhores editoras acadêmicas, garantindo produtos originais e de qualidade.
• Comunidade Matemática: Ao comprar conosco, você passa a fazer parte de uma comunidade que recebe conteúdos exclusivos e convites para eventos da área.

Perguntas Frequentes

P: Este livro é adequado para iniciantes em álgebra?
R: Sim, o livro foi estruturado com uma abordagem progressiva, partindo de conceitos básicos. No entanto, é recomendável que o leitor tenha conhecimentos prévios de matemática em nível de ensino médio.

P: O livro contém exercícios resolvidos?
R: O livro apresenta uma seleção cuidadosa de exercícios ao final de cada capítulo, com diferentes níveis de dificuldade. Alguns exercícios incluem dicas e orientações, mas a obra foca principalmente em propor desafios para fixação do conteúdo.

P: Esta edição é a mais recente disponível?
R: Sim, oferecemos a 6ª edição (2017), que é a mais atual publicada pelo IMPA, com revisões e aprimoramentos em relação às edições anteriores.

P: O livro aborda aplicações práticas da álgebra?
R: O foco principal é nos fundamentos teóricos, mas o autor estabelece conexões com problemas clássicos e aplicações geométricas, especialmente no capítulo sobre construções com régua e compasso.

P: Existe material complementar disponível?
R: Ao adquirir o livro em nossa loja, você recebe acesso a uma lista de recursos online recomendados que complementam o estudo dos tópicos abordados.