Introdução à Álgebra

Descrição

O livro começa com noções preliminares, como conjuntos, funções e relações de equivalência, preparando o terreno para os tópicos mais avançados. Em seguida, o autor aborda os números inteiros, explorando propriedades elementares, algoritmos, ideais e números primos, além de introduzir anéis como os números inteiros módulo n. A partir daí, Gonçalves avança para a discussão de anéis, ideais e homomorfismos, utilizando uma linguagem acessível, mas sem deixar de lado o rigor matemático.

Os capítulos seguintes tratam de polinômios em uma variável, extensões algébricas dos racionais, e grupos, temas centrais para a compreensão da álgebra abstrata. O ponto alto do livro é a introdução à Teoria de Galois, onde o autor aborda o Teorema Fundamental de Galois e sua aplicação na solução de polinômios por meio de expressões radicais. A abordagem inclui clássicos problemas como a duplicação do cubo, a quadratura do círculo e a trisseção do ângulo, além do Teorema de Gauss sobre a construção de polígonos regulares com régua e compasso.

Com uma estrutura didática e exercícios cuidadosamente selecionados, Introdução à Álgebra é um material valioso para estudantes de graduação e professores que desejam aprofundar seu conhecimento em álgebra. O autor explica conceitos complexos de maneira clara e progressiva, proporcionando uma compreensão sólida dos temas abordados. A inclusão de tópicos como extensões algébricas e a teoria dos grupos destaca a abrangência do conteúdo e faz deste livro uma referência fundamental para os interessados em explorar os alicerces da matemática.

Sumário

1 Noções preliminares
1.1 Conjuntos
1.2 Funções
1.3 Relação de equivalência
1.4 Produto cartesiano e operação binária em um conjunto

2 Os números inteiros
2.1 Propriedades elementares
2.2 Boa ordenação e algoritmo da divisão
2.3 Ideais e M.D.C.
2.4 Números primos e ideais maximais
2.5 Fatoração única
2.6 Os anéis Z_n

3 Anéis, ideais e homomorfismos
3.1 Definição e exemplos
3.2 Subanéis
3.3 Ideais e anéis quocientes
3.4 Homomorfismo de anéis
3.5 O corpo de frações de um domínio

4 Polinômios em uma variável
4.1 Definição e exemplos
4.2 O algoritmo da divisão
4.3 Ideais principais e máximo divisor comum
4.4 Polinômios irredutíveis e ideais maximais
4.5 Fatoração única
4.6 O critério de Eisenstein

5 Extensões algébricas dos racionais
5.1 Adjunção de raízes
5.2 Corpo de decomposição de um polinômio
5.3 Grau de uma extensão
5.4 Construção por meio de régua e compasso

6 Grupos
6.1 Definição e exemplos
6.2 Subgrupos e classes laterais
6.3 Classes de conjugação
6.4 Grupos quocientes e homomorfismo de grupos
6.5 A simplicidade dos grupos A_n , n ≥ 5

7 Teoria de Galois elementar
7.1  Extensões galoisianas e extensões normais
7.2  A correspondência de Galois
7.3  Solubilidade por meio de radicais