Descrição
O livro é dedicado ao estudo dos números, explorando suas diferentes classes e propriedades, desde os inteiros até os complexos. A abordagem foca nas estruturas algébricas de anéis e corpos, destacando a relação entre álgebra e aritmética. Entre os tópicos principais estão:
- Teoria dos Conjuntos: Fundamentos que sustentam toda a matemática contemporânea.
- Inteiros e Racionais: Propriedades fundamentais e aritmética.
- Álgebra dos Inteiros: Divisibilidade, fatoração e ideais.
- Congruências: Propriedades e aplicações em teoria dos números.
- Aneis e Corpos: Introdução a estruturas algébricas fundamentais.
- Números Reais e Complexos: Construções e propriedades avançadas.
O livro ainda conta com um apêndice que apresenta noções de lógica matemática, indispensável para estudantes que desejam aprofundar sua formação.
Destaques
- Didática Exemplar: Explicações detalhadas e organizadas para facilitar o entendimento.
- Exercícios Práticos: Problemas variados que reforçam a teoria e incentivam o aprendizado ativo.
- Conexão Teórica: Integração entre conceitos de álgebra e aritmética, promovendo uma visão ampla da disciplina.
Público-Alvo
Esta obra é recomendada para:
- Estudantes de graduação em matemática, física e engenharia.
- Professores que buscam um material didático de alta qualidade.
- Pesquisadores e autodidatas interessados em fundamentos de álgebra.
Sobre o Autor
Abramo Hefez é um matemático renomado, com vasta experiência em ensino e pesquisa. Suas contribuições acadêmicas e seu talento didático o destacam como um dos grandes nomes da matemática no Brasil.
O Curso de Álgebra – Volume 1 é uma obra indispensável para quem deseja construir uma base sólida em álgebra. Com clareza e rigor, Abramo Hefez oferece aos leitores uma compreensão profunda das estruturas algébricas e suas aplicações. Este livro é um investimento valioso para estudantes e professores que buscam excelência em matemática.
Sumário
1 Conjuntos
1.1 A linguagem dos conjuntos
1.2 Operações com conjuntos
1.2.1 União de conjuntos
1.2.2 Interseção de conjuntos
1.2.3 Diferença de conjuntos
1.2.4 Conjuntos das partes e produto cartesiano
1.2.5 Famílias de conjuntos
1.3 Funções
1.3.1 O conceito de função
1.3.2 Composição de funções
1.3.3 Imagens diretas e inversas
1.4 Funções inversas
1.4.1 Bijeções
1.4.2 Funções inversas
1.4.3 Conjuntos de funções
1.5 Relações binárias
1.5.1 Relações de equivalência
1.5.2 Relações de ordem
1.6 Cantor, o gênio injustiçado
2 Os inteiros e racionais
2.1 Os inteiros
2.1.1 Anéis
2.1.2 Anéis Ordenados
2.1.3 Anéis Bem Ordenados
2.1.4 Homomorfismos
2.2 Os racionais
2.2.1 Corpo de Frações de um Domínio de Integridade
2.2.2 Corpo de Frações de um Domínio Ordenado
3 Propriedades dos inteiros
3.1 Indução Matemática
3.1.1 Princípio de Indução Matemática
3.1.2 Conjuntos Finitos e Infinitos
3.1.3 O Homomorfismo Característico
3.1.4 Binômio de Newton
3.1.5 Desigualdade de Bernoulli
3.2 Divisão com resto
3.3 Sistemas de numeração
3.4 Euclides
4 Álgebra dos inteiros
4.1 Divisibilidade
4.1.1 Propriedades da divisibilidade
4.1.2 Máximo divisor comum
4.1.3 Mínimo múltiplo comum
4.2 Ideais
4.2.1 A noção de ideal
4.2.2 Z é um domínio principal
4.3 Fatoração
4.3.1 Elementos irredutíveis
4.3.2 Domínios de fatoração única
5 Aritmética dos inteiros
5.1 Números primos
5.1.1 O Crivo de Eratóstenes
5.1.2 Números primos especiais
5.2 Distribuição dos números primos
5.3 Algoritmo de Euclides
5.4 Equações Diofantinas
5.4.1 Equações diofantinas lineares
5.5 O despertar da Aritmética
6 Congruências
6.1 Propriedades das congruências
6.1.1 Aplicações das congruências
6.1.2 Propriedades adicionais das congruências
6.2 As classes residuais e a sua aritmética
6.2.1 As classes residuais
6.2.2 Aritmética das classes residuais
6.3 Congruências lineares
6.4 A função Φ de Euler
6.5 O legado de um gigante
7 Anéis
7.1 Anéis
7.2 Homomorfismos e ideais
7.3 Anéis quocientes
8 Os números reais
8.1 Sequências convergentes
8.2 Corpos Arquimedianos
8.3 Sequências fundamentais
8.4 Ordenação do completamento
8.5 Relação com a Análise
9 Os números complexos
9.1 O corpo dos complexos
9.1.1 Estrutura algébrica de C
9.1.2 Extração de raiz quadrada em C
9.2 Conjugação e módulo
9.3 Forma trigonométrica ou polar
9.4 Raízes
9.5 Raízes da unidade
9.5.1 Propriedades das raízes da unidade
9.5.2 Raízes simultâneas da unidade
A Noções de lógica Matemática
A.1 Conectivos lógicos
A.1.1 Negação
A.1.2 Conjunção
A.1.3 Disjunção
A.1.4 Condicional
A.1.5 Bicondicional
A.2 Cálculo sentencial
A.2.1 Propriedades da Conjunção
A.2.2 Propriedades da Disjunção
A.2.3 Distributividade
A.2.4 Leis de De Morgan
A.2.5 Propriedades do Condicional
A.2.6 Silogismos
A.3 Quantificadores
A.4 O que são os Teoremas?
Bibliografia
Índice de Autores
Índice Remissivo
Mariana –
Amei o livro “‘Curso de Álgebra – Volume 1! Abramo Hefez consegue explicar conceitos complexos de forma clara e acessível. A seção sobre anéis e corpos foi especialmente útil para os meus estudos, e os exercícios complementam perfeitamente o conteúdo teórico. É um material indispensável para qualquer estudante de matemática!
Monteiro –
Este livro é um clássico indispensável para quem deseja entender álgebra a fundo. A abordagem didática do autor e os exemplos detalhados tornam o aprendizado muito mais fluido. Gostei especialmente das explicações sobre números inteiros e congruências. Recomendo para todos que estão iniciando na álgebra ou revisando fundamentos!