Descrição
O guia definitivo de Matemática Discreta e Geometria Espacial para professores do Ensino Médio e estudantes de Licenciatura em Matemática
Se você procura um material de referência sólido, rigoroso e ao mesmo tempo profundamente didático para dominar os principais temas da segunda série do Ensino Médio, A Matemática do Ensino Médio – Volume 2 é uma obra incontornável. Publicado pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) dentro da prestigiada Coleção do Professor de Matemática, este segundo volume reúne em um único livro o melhor da Matemática Discreta e da Geometria Espacial, com a clareza e o cuidado pedagógico que consagraram a coleção como leitura obrigatória para gerações de professores e licenciandos brasileiros.
Esta página apresenta a 8ª edição (2025) da obra. Trata-se de um texto maduro, desenvolvido para aprofundar a compreensão dos temas abordados e manter o equilíbrio entre rigor matemático, clareza de exposição e atenção às questões de ensino.
Sobre o Livro
A Matemática do Ensino Médio – Volume 2 foi escrito especialmente para professores do Ensino Médio e estudantes de Licenciatura em Matemática, cobrindo os principais assuntos estudados na segunda série dessa etapa. A obra está dividida em duas partes bem distintas, o que a torna ao mesmo tempo abrangente e organizada.
A primeira parte é dedicada à Matemática Discreta, contemplando o estudo das Progressões (com aplicações diretas à Matemática Financeira), Recorrências, Análise Combinatória e Probabilidade. Um princípio sempre presente nesta seção é o de evitar o uso excessivo de fórmulas. Na maioria dos casos, os autores demonstram que elas são desnecessárias e podem ser substituídas, com vantagem, pelo uso consciente das definições e dos princípios fundamentais. Em vez de submeter o aluno a uma profusão de fórmulas de difícil memorização, o livro incentiva o emprego inteligente do princípio multiplicativo em Combinatória, dissolvendo a famosa dúvida que aflige tantos estudantes: “professor, aqui eu uso arranjos ou combinações?”.
A segunda parte é dedicada à Geometria Espacial e tem duas preocupações centrais. A primeira é oferecer ao professor uma fundamentação consistente do assunto, discutindo diferentes formas de levar esses fundamentos até os alunos. A segunda é apresentar, em cada tópico, sugestões de atividades em sala de aula que tornam o conteúdo mais interessante e facilitam o desenvolvimento da visão e da intuição espaciais. Sempre que possível, os autores recorrem a objetos do mundo real para ilustrar conceitos importantes, aproximando a abstração geométrica da experiência concreta do estudante.
Um diferencial importante da obra é a presença de exercícios ao final de cada capítulo, muitos deles acompanhados de soluções, o que faz do livro um excelente recurso tanto para o planejamento de aulas quanto para o autoestudo e a revisão.
Sumário
1 Progressões
1.1 Progressões Aritméticas
1.2 Progressões Geométricas
1.3 Sobre o Ensino de Progressões
2 Matemática Financeira
3 Recorrência
3.1 Sequências Definidas Recursivamente
3.2 Recorrências Lineares de Primeira Ordem
3.3 Recorrências Lineares de Segunda Ordem
4 Combinatória
4.1 Princípios Básicos
4.2 Permutações e Combinações
4.3 O Triângulo Aritmético
4.4 O Binômio de Newton
4.5 Sobre o Ensino de Combinatória
5 Probabilidade
5.1 Conceitos Básicos
5.2 Probabilidade Condicional
6 Médias e o Princípio das Gavetas
6.1 Médias
6.2 A Desigualdade das Médias
6.3 Desigualdade das Médias Generalizada
7 Pontos, Retas e Planos
7.1 Do Plano para o Espaço
7.2 Noções Primitivas e Axiomas
7.3 Posição de Retas
7.4 Posição Relativa de Reta e Plano
7.5 Posição Relativa de Dois Planos
7.6 Construindo Sólidos
7.7 Descobrindo Relações de Paralelismo
7.8 Planos Paralelos e Proporcionalidade
8 Perpendicularismo
8.1 Retas Perpendiculares
8.2 Retas e Planos Perpendiculares
8.3 Construções Baseadas em Perpendicularismo de Reta e Plano
8.4 Planos Perpendiculares
8.5 Atividades em Sala de Aula
9 Medindo Distâncias e Ângulos
9.1 Distância Entre Dois Pontos
9.2 Distância de Ponto a Plano
9.3 Distância de Ponto a Reta
9.4 Distância Entre Retas Reversas
9.5 Ângulo Entre Retas
9.6 Ângulo Entre Planos
9.7 Ângulo Entre Reta e Plano
9.8 A Esfera
10 Poliedros
10.1 Introdução
10.2 As Primeiras Relações
10.3 Duas Desigualdades
10.4 Poliedros Regulares
10.5 O Caso Plano do Teorema de Euler
10.6 Uma Outra Demonstração do Teorema de Euler no Plano
11 Volumes e Áreas
11.1 Introdução
11.2 O Paralelepípedo Retângulo
11.3 O Princípio de Cavalieri
11.4 O Prisma
11.5 A Pirâmide
11.6 Cilindros e Cones
11.8 A Esfera
12 Superfícies e Sólidos de Revolução
12.1 Introdução
12.2 Centros de Gravidade
12.3 Um Exemplo da Física
12.4 Centro de Gravidade de uma Poligonal
12.5 Área Lateral de um Tronco de Cone
12.6 Centro de Gravidade de um Polígono
12.7 A Rotação de um Retângulo
12.8 O Volume e a Área da Esfera
12.9 A Área da Esfera
12.10 O Volume da Esfera
Conteúdo Programático / Tópicos Abordados
p>A obra está organizada em doze capítulos, distribuídos entre a Matemática Discreta (capítulos 1 a 6) e a Geometria Espacial (capítulos 7 a 12):
Capítulo 1 — Progressões: Progressões Aritméticas; Progressões Geométricas; reflexões sobre o ensino de progressões; exercícios.
Capítulo 2 — Matemática Financeira: aplicações das progressões a juros, descontos e equivalência de capitais; exercícios.
Capítulo 3 — Recorrência: sequências definidas recursivamente; recorrências lineares de primeira ordem; recorrências lineares de segunda ordem; exercícios.
Capítulo 4 — Combinatória: princípios básicos; permutações e combinações; o Triângulo Aritmético; o Binômio de Newton; reflexões sobre o ensino de Combinatória; exercícios.
Capítulo 5 — Probabilidade: conceitos básicos; probabilidade condicional; exercícios.
Capítulo 6 — Médias e o Princípio das Gavetas: médias; a Desigualdade das Médias; a desigualdade das médias generalizada; exercícios.
Capítulo 7 — Pontos, Retas e Planos: do plano para o espaço; noções primitivas e axiomas; posições relativas de retas, retas e planos, e de dois planos; construção de sólidos; paralelismo e proporcionalidade; atividades em sala de aula; exercícios.
Capítulo 8 — Perpendicularismo: retas perpendiculares; retas e planos perpendiculares; construções baseadas em perpendicularismo; planos perpendiculares; atividades em sala de aula; exercícios.
Capítulo 9 — Medindo Distâncias e Ângulos: distância entre dois pontos, de ponto a plano, de ponto a reta e entre retas reversas; ângulos entre retas, entre planos e entre reta e plano; a esfera; atividades em sala de aula; exercícios.
Capítulo 10 — Poliedros: primeiras relações; desigualdades; poliedros regulares; o Teorema de Euler e suas demonstrações; exercícios.
Capítulo 11 — Volumes e Áreas: o paralelepípedo retângulo; o Princípio de Cavalieri; prisma, pirâmide, cilindros e cones; a esfera; atividades para sala de aula; exercícios.
Capítulo 12 — Superfícies e Sólidos de Revolução: centros de gravidade; um exemplo da Física; centro de gravidade de uma poligonal e de um polígono; área lateral de um tronco de cone.
Para Quem é Este Livro
Este volume foi pensado, antes de tudo, para o professor de Matemática do Ensino Médio que deseja aprofundar seu domínio dos conteúdos e enriquecer suas aulas com abordagens mais conceituais e menos mecânicas. É também leitura fundamental para estudantes de Licenciatura em Matemática, que encontram aqui a fundamentação teórica que muitas vezes falta nos livros didáticos comuns.
Alunos do Ensino Médio com interesse aprofundado em Matemática, candidatos a olimpíadas de Matemática (OBM, OBMEP) e estudantes em preparação para vestibulares e concursos exigentes também se beneficiam enormemente da obra, especialmente nas partes de Combinatória, Probabilidade e Geometria Espacial. Por seu rigor e clareza, o livro é igualmente útil para qualquer pessoa em autoestudo que queira compreender, e não apenas decorar, a Matemática da segunda série.
Sobre os Autores
Elon Lages Lima (Maceió, 1929 — Rio de Janeiro, 2017) foi um dos mais influentes matemáticos brasileiros e idealizador da Coleção do Professor de Matemática. Pesquisador e ex-diretor do IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), dedicou grande parte de sua vida à melhoria do ensino de Matemática no Brasil, sendo autor de obras de referência em Análise, Álgebra Linear e Geometria. Foi o coordenador do projeto que deu origem a esta coleção e é coautor de A Matemática do Ensino Médio – Volume 2.
Paulo Cezar Pinto Carvalho é doutor em Matemática e foi pesquisador do IMPA por mais de três décadas. Atua como professor na Escola de Matemática Aplicada da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e tem ampla produção em ensino de Matemática, Combinatória, Geometria e computação gráfica, com diversos títulos publicados pela SBM.
Eduardo Wagner é graduado em Engenharia Civil pela UFRJ e mestre em Matemática pelo IMPA, instituição que lhe concedeu o título de doutor honoris causa. Professor da Fundação Getúlio Vargas e de outras instituições, é figura central no movimento das olimpíadas de Matemática e na formação de professores, com forte atuação no PROFMAT e em obras de Geometria e resolução de problemas.
Augusto Cezar de Oliveira Morgado (1944 — 2018), carioca e professor lendário, lecionou no Colégio Pedro II e na Fundação Getúlio Vargas, entre outras instituições. Foi membro do comitê editorial da Revista do Professor de Matemática e da Comissão de Olimpíadas da SBM, além de integrante da diretoria executiva da Federação Ibero-Americana de Competições Matemáticas. Tornou-se ainda mais conhecido do grande público por suas aulas no PAPMEM, do IMPA, reverenciadas por sua clareza e bom humor.
Sobre a Editora SBM
Elon Lages Lima (Maceió, 1929 — Rio de Janeiro, 2017) foi um dos mais influentes matemáticos brasileiros e idealizador da Coleção do Professor de Matemática. Pesquisador e ex-diretor do IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), dedicou grande parte de sua vida à melhoria do ensino de Matemática no Brasil, sendo autor de obras de referência em Análise, Álgebra Linear e Geometria. Foi o coordenador do projeto que deu origem a esta coleção e é coautor de A Matemática do Ensino Médio – Volume 2.
Paulo Cezar Pinto Carvalho é doutor em Matemática e foi pesquisador do IMPA por mais de três décadas. Atua como professor na Escola de Matemática Aplicada da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e tem ampla produção em ensino de Matemática, Combinatória, Geometria e computação gráfica, com diversos títulos publicados pela SBM.
Eduardo Wagner é graduado em Engenharia Civil pela UFRJ e mestre em Matemática pelo IMPA, instituição que lhe concedeu o título de doutor honoris causa. Professor da Fundação Getúlio Vargas e de outras instituições, é figura central no movimento das olimpíadas de Matemática e na formação de professores, com forte atuação no PROFMAT e em obras de Geometria e resolução de problemas.
Augusto Cezar de Oliveira Morgado (1944 — 2018), carioca e professor lendário, lecionou no Colégio Pedro II e na Fundação Getúlio Vargas, entre outras instituições. Foi membro do comitê editorial da Revista do Professor de Matemática e da Comissão de Olimpíadas da SBM, além de integrante da diretoria executiva da Federação Ibero-Americana de Competições Matemáticas. Tornou-se ainda mais conhecido do grande público por suas aulas no PAPMEM, do IMPA, reverenciadas por sua clareza e bom humor.
Sobre a Editora SBM
A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) é a principal entidade científica dedicada à Matemática no Brasil, responsável por congressos, olimpíadas, periódicos e por um catálogo editorial de altíssima qualidade. A Coleção do Professor de Matemática, da qual este livro faz parte, nasceu com a missão de oferecer aos docentes da educação básica textos que aliam rigor matemático e sensibilidade pedagógica. Adquirir um título da SBM é ter em mãos um material produzido e revisado por matemáticos comprometidos com a formação de professores e estudantes em todo o país.
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Na livrosdematematica.com você encontra A Matemática do Ensino Médio – Volume 2 em sua edição original e atualizada, com a garantia de estar adquirindo um exemplar autêntico publicado pela SBM. Somos uma livraria especializada exclusivamente em livros de Matemática, o que significa um catálogo cuidadosamente selecionado, atendimento que entende do assunto e foco total na qualidade acadêmica dos títulos que oferecemos.
Trabalhamos com envio para todo o Brasil, embalagem adequada para proteger seu livro e um serviço de atendimento ao consumidor pronto para esclarecer dúvidas sobre conteúdo, edição e entrega. Comprar conosco é apoiar uma loja que valoriza a produção matemática brasileira e a difusão do conhecimento de excelência.
Perguntas Frequentes
Qual edição de A Matemática do Ensino Médio – Volume 2 está disponível?
Esta página corresponde à 8ª edição (2025), publicada pela SBM. O volume apresenta uma abordagem de aprofundamento conceitual em Matemática Discreta e Geometria Espacial, voltada especialmente à formação e ao trabalho de professores.
Quem são os autores do livro?
A obra é assinada por Elon Lages Lima, Eduardo Wagner, Augusto Cezar de Oliveira Morgado e Paulo Cezar Pinto Carvalho, quatro nomes de grande relevância na Matemática brasileira e na formação de professores. Trata-se de uma colaboração clássica da Coleção do Professor de Matemática.
Este livro serve para alunos do Ensino Médio ou só para professores?
Embora seja escrito principalmente para professores e licenciandos, o livro é plenamente acessível a alunos do Ensino Médio mais dedicados, especialmente aqueles que se preparam para olimpíadas de Matemática, vestibulares exigentes ou que desejam compreender a matéria com profundidade.
Qual a diferença entre o Volume 1, o Volume 2 e o Volume 3 da coleção?
Cada volume cobre uma etapa do Ensino Médio. O Volume 2 concentra-se nos temas da segunda série: Progressões, Matemática Financeira, Recorrência, Combinatória, Probabilidade, Médias e toda a Geometria Espacial. Os volumes 1 e 3 tratam, respectivamente, dos conteúdos da primeira e da terceira séries.
O livro inclui exercícios resolvidos?
Sim. Cada capítulo é encerrado com uma lista de exercícios, e a obra oferece soluções e respostas que facilitam o estudo autônomo e a verificação do aprendizado, tornando-a ideal para autoestudo.
Preciso ter conhecimentos avançados para acompanhar o livro?
Não. O texto parte dos fundamentos e constrói o raciocínio de forma progressiva, privilegiando definições e princípios em vez de fórmulas decoradas. É necessário apenas o domínio da Matemática básica do Ensino Fundamental e da primeira série do Ensino Médio.
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