Descrição

Por Que Escolher Lições de Equações Diferenciais Ordinárias?

Em um campo repleto de textos introdutórios, a obra de Sotomayor se destaca por sua abordagem rigorosa e conceitual. Em vez de focar em meras técnicas de resolução, o autor convida o leitor a compreender as propriedades gerais das funções de solução, utilizando o poderoso arsenal da Análise Matemática Clássica e da Álgebra Linear. Este livro não lhe dará apenas as respostas; ele ensinará você a pensar como um matemático, a explorar a estrutura subjacente dos sistemas dinâmicos e a apreciar a beleza da teoria qualitativa. É a escolha ideal para quem busca um entendimento profundo e duradouro, preparando o terreno para estudos avançados em sistemas dinâmicos, geometria diferencial e áreas afins.

Conteúdo Abrangente e Estrutura Inovadora

Com uma organização impecável, o livro é dividido em quatro partes principais, projetadas para serem amplamente autossuficientes, permitindo flexibilidade no estudo e na consulta:

1. Fundamentos

Uma base sólida sobre a existência e unicidade de soluções, o problema de Cauchy e a dependência das soluções em relação às condições iniciais e parâmetros. Essencial para construir uma compreensão robusta da teoria.

2. Equações Lineares

Uma exploração detalhada da teoria das equações diferenciais lineares, incluindo a Teoria de Sturm-Liouville e uma incursão fascinante pelas equações lineares no campo complexo.

3. Teoria Qualitativa

O coração do livro, onde Sotomayor brilha ao apresentar a análise do comportamento das soluções. Tópicos como o Teorema de Poincaré-Bendixson e a estabilidade de Lyapunov são desenvolvidos com uma clareza e profundidade inigualáveis.

4. Estabilidade Estrutural

Uma introdução sofisticada aos conceitos de estabilidade estrutural e bifurcações, abrindo as portas para a pesquisa de fronteira em sistemas dinâmicos.

Sumário

Prefácio

Introdução

I Fundamentos

1 Existência e unicidade de soluções

1.1 Preliminares
1.2 O problema de Cauchy
1.3 Exemplos
1.4 Teoremas de Picard e de Peano
1.5 Soluções máximas
1.6 Sistemas e equações diferenciais de ordem superior
Exercícios

2 Dependência das soluções em relação às condições iniciais e parâmetros

2.1 Preliminares
2.2 Continuidade
2.3 Diferenciabilidade
Exercícios

II Equações Lineares

3 Equações diferenciais lineares

3.1 Preliminares
3.2 Propriedades gerais
3.3 Equações lineares com coeficientes constantes
3.4 Sistemas bidimensionais simples
3.5 Conjugação de sistemas lineares
3.6 Classificação dos sistemas lineares hiperbólicos
3.7 Sistemas lineares complexos
3.8 Oscilações mecânicas e elétricas
Exercícios

4 Elementos da Teoria de Sturm–Liouville e Problemas de Contorno

4.1 Os Teoremas de Sturm
4.2 Problemas de Sturm–Liouville
4.3 Existência de autovalores
4.4 O problema da corda vibrante
4.5 Expansão em séries de autofunções
Apêndice: O Teorema Espectral
Exercícios

5 Equações lineares no campo complexo

5.1 Pontos singulares de um sistema linear
5.2 Pontos singulares simples
5.3 Soluções formais em pontos singulares simples
5.4 Matrizes fundamentais em um ponto singular simples
5.5 A equação de ordem n
5.6 Equações Fuchsianas de segunda ordem
5.7 O método de Frobenius
5.8 A equação Hipergeométrica
5.9 A equação de Bessel
5.10 Funções de Bessel e a equação da membrana oscilante
Exercícios

III Teoria Qualitativa

6 Teoria qualitativa das EDOs: aspectos gerais

6.1 Campos vetoriais e fluxos
6.2 Diferenciabilidade dos fluxos de campos vetoriais
6.3 Retrato de fase de um campo vetorial
6.4 Equivalência e conjugação de campos vetoriais
6.5 Estrutura local dos pontos singulares hiperbólicos
6.6 Estrutura local de órbitas periódicas
6.6.1 A transformação de Poincaré
6.6.2 Ciclos limite no plano
6.6.3 Derivada da transformação de Poincaré
6.7 Fluxos lineares no toro
Exercícios

7 Teorema de Poincaré–Bendixson

7.1 Conjuntos ω–limite e α–limite de uma órbita
7.2 O Teorema de Poincaré–Bendixson
7.3 Pontos singulares no interior de uma órbita periódica
7.4 As equações de Liénard e van der Pol
Exercícios

8 Estabilidade no sentido de Liapounov

8.1 Estabilidade de Liapounov
8.2 O Critério de Liapounov
8.3 Teorema de Chetaev
Exercícios

9 Estrutura local dos pontos singulares e órbitas periódicas hiperbólicas

9.1 Preliminares
9.2 Teorema de Hartman para difeomorfismos e órbitas periódicas hiperbólicas
9.3 Teorema de Hartman em espaços de Banach
9.4 Teorema de Hartman para campos vetoriais e fluxos
9.5 Teorema de Hartman: Caso local para difeomorfismos
9.6 Teorema de Hartman: Caso local para campos vetoriais
9.7 Variedades invariantes
Apêndice: Diferenciabilidade das variedades invariantes de pontos hiperbólicos
Exercícios

10 Teoria de Poincaré–Bendixson em superfícies

10.1 Número de rotação
10.2 Teorema de Schwartz
Exercícios

IV Estabilidade Estrutural

11 Estabilidade estrutural

11.1 Conceitos preliminares
11.2 A classe Σr (M) dos campos estruturalmente estáveis
11.3 Abertura e densidade dos campos estruturalmente estáveis
11.3.1 Abertura de Σr (M)
11.3.2 Equivalência topológica dos campos estruturalmente estáveis
11.3.3 Densidade de Σr (M)
11.3.4 Caracterização dos campos estruturalmente estáveis
11.3.5 Conclusão
Exercícios

12 Bifurcações

12.1 Introdução
12.2 Estabilidade estrutural de primeira ordem e bifurcações
12.3 Demonstração dos resultados principais
12.3.1 Demonstração dos Teoremas 12.11 e 12.13
12.3.2 Estrutura laminar de Σr 1 e acumulação
12.3.3 Caminhos transversais a Σr 1 e estabilidade estrutural
Exercícios

Seções Finais

A Análise Matemática

Bibliografia

Índice de Autores

Glossário de Notações

Índice Remissivo