Descrição
O clássico brasileiro que une progressões aritméticas, progressões geométricas e matemática financeira em um único curso rigoroso e aplicado
Poucas obras conseguem combinar elegância matemática e utilidade prática como Progressões e Matemática Financeira, de Augusto César Morgado, Eduardo Wagner e Sheila C. Zani, publicado pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) na Coleção do Professor de Matemática. Mais de três décadas após sua concepção, o livro continua sendo referência absoluta para professores do ensino médio, candidatos ao PROFMAT, estudantes de graduação e qualquer pessoa que deseje compreender, com profundidade conceitual, por que uma progressão geométrica não é apenas uma sequência de números — é uma sequência com taxa de crescimento constante, e por isso mesmo o instrumento natural para entender juros, financiamentos, parcelamentos e descontos.
Sobre o Livro
Esta é a 7ª edição, publicada pela SBM em 2022, do livro que nasceu de um curso ministrado em janeiro de 1993 para professores de Matemática do ensino médio, no Centro Educacional e Residencial da IBM, no Rio de Janeiro. O curso foi parte de um programa do IMPA — Instituto de Matemática Pura e Aplicada, com patrocínio da fundação Vitae, e foi organizado pelo professor Elon Lages Lima, então diretor do IMPA. Desde a primeira edição, a obra carrega esse DNA: rigor matemático característico do IMPA combinado com uma preocupação genuína em formar o professor da educação básica.
O livro é o volume 8 da Coleção do Professor de Matemática da SBM, e traz ISBN 978-85-8337-191-5. A 7ª edição mantém a estrutura clássica e atualiza os valores monetários e as taxas de juros dos exemplos para patamares mais próximos da realidade brasileira atual, além de ampliar significativamente as sugestões para os exercícios.
O que diferencia esta obra de qualquer manual escolar comum sobre o tema é a tese pedagógica que a sustenta. Os autores defendem que os conceitos de aumento e de taxa de crescimento devem ser enfatizados no ensino de progressões — uma progressão geométrica é, antes de tudo, uma sequência com taxa de crescimento constante, e essa ideia é muito mais motivadora para os alunos do que a definição mecânica de “sequência com quociente de termos constante”. A partir dessa intuição, a matemática financeira deixa de ser um apêndice utilitário e se revela como aplicação natural das progressões geométricas, conforme recomendado pelo Simpósio Ibero-Americano sobre Ensino da Matemática (Madri, 1990).
Sumário
Prefácio — iii
Prefácio da Quarta Edição — v
1. Progressões Aritméticas — 1
2. Progressões Geométricas — 19
3. Matemática Financeira — 45
4. Sugestões para alguns exercícios — 77
5. Respostas dos Exercícios — 93
6. Apêndice 1 — 109
7. Apêndice 2 — 119
8. Apêndice 3 — 123
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Mais de trinta anos depois daquele curso de janeiro de 1993, Progressões e Matemática Financeira continua sendo a forma mais clara, rigorosa e elegante de aprender — e de ensinar — por que a matemática das sequências e a matemática do dinheiro são, no fundo, a mesma matemática. Adicione ao carrinho e leve para a sua estante um livro que vai acompanhar a sua trajetória como estudante, como professor e como leitor que aprecia a matemática feita com cuidado.
Conteúdo Programático
O livro está organizado em três capítulos teóricos centrais, complementados por uma seção rica de sugestões para exercícios, respostas completas e três apêndices computacionais. O sumário oficial da obra contempla:
Capítulo 1 — Progressões Aritméticas. Definição formal, fórmula do termo geral, soma dos n primeiros termos (incluindo o célebre relato sobre Carl F. Gauss aos sete anos calculando a soma dos inteiros de 1 a 100), somas de potências de inteiros, equações de diferenças de primeira ordem e aplicações em problemas combinatórios e geométricos.
Capítulo 2 — Progressões Geométricas. Tratamento conceitual via taxa de crescimento, fórmulas de termo geral e soma, soma infinita de uma PG decrescente, equações de diferenças e o caminho que prepara o leitor para a matemática financeira do capítulo seguinte.
Capítulo 3 — Matemática Financeira. Juros simples e compostos com prova formal do teorema fundamental (o montante em juros compostos forma uma PG de razão 1+i), valor presente e valor futuro, equivalência de capitais, taxas equivalentes, séries uniformes de pagamentos, sistemas de amortização e decisões reais de consumo. Exemplos clássicos que viraram referência didática no Brasil aparecem aqui — a comparação entre comprar em três prestações de R$ 100 ou em seis prestações de R$ 51, a escolha entre desconto à vista e parcelamento sem juros, e muitos outros casos resolvidos passo a passo.
Capítulo 4 — Sugestões para alguns exercícios. Seção generosa, ampliada nesta edição, que orienta o leitor sem entregar a resposta pronta — um diferencial pedagógico raro em livros brasileiros.
Capítulo 5 — Respostas dos Exercícios. Gabarito completo para conferência.
Apêndice 1 — Calculadora financeira HP-12C. Tutorial completo da calculadora financeira mais usada no Brasil. Notação polonesa reversa, registros, memórias, teclas funcionais (y elevado a x, troca de sinal, exponencial, logaritmo) e o conjunto de teclas financeiras (n, i, PV, PMT, FV) com exemplos resolvidos de montantes, prestações e taxas.
Apêndice 2 — Excel: TAXA e TIR. Como usar a função TAXA para encontrar a taxa de juros embutida em um financiamento e a função TIR (Taxa Interna de Retorno) para analisar fluxos de caixa não uniformes. Inclui exemplos práticos com veículos, eletrodomésticos e crédito direto ao consumidor.
Apêndice 3 — Excel para planilhas. Da operação básica de células à construção de planilhas de amortização. Cálculos com PA e PG diretamente na planilha, funções matemáticas e trigonométricas, e modelagem de problemas financeiros realistas.
Para Quem é Este Livro
O público natural desta obra é amplo justamente porque ela faz a ponte entre o ensino médio rigoroso e a matemática universitária aplicada. Professores de Matemática do ensino básico encontram aqui um texto que pode ser usado em sala de aula, tanto com turmas iniciais quanto avançadas, com exemplos que motivam o aluno a perceber a matemática como ferramenta de decisão econômica cotidiana.
Candidatos e alunos do PROFMAT (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) reconhecem este livro como bibliografia recorrente em provas de admissão e em disciplinas obrigatórias — particularmente nas que tratam de Matemática Discreta, Aritmética e Aplicações.
Para estudantes de graduação em Administração, Economia, Engenharia e Atuária, o livro oferece uma fundamentação conceitual sólida que poucos manuais convencionais de matemática financeira proporcionam: aqui, as fórmulas não caem do céu, são deduzidas a partir das progressões. Para candidatos ao Banco Central, BNDES, CVM e demais concursos federais que exigem matemática financeira em alto nível, é uma escolha estratégica.
E para alunos de olimpíadas de matemática, em particular a OBM e a OBMEP, os exercícios sobre progressões e equações de diferenças constituem treino sério e elegante.
Sobre os Autores
Augusto César de Oliveira Morgado (1944–2017)
Augusto César Morgado foi uma das figuras mais influentes do ensino de matemática no Brasil. Formado em engenharia, professor de gerações de estudantes no Rio de Janeiro, foi um dos pilares do PAPMEM (Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio) do IMPA. Autor de clássicos absolutos da matemática brasileira — incluindo Análise Combinatória e Probabilidade e Temas e Problemas Elementares, ambos referências obrigatórias —, Morgado era reconhecido pela clareza expositiva, pelo humor e pela capacidade rara de transformar um problema árido em uma narrativa instigante. Faleceu em 2017, deixando uma obra que continua orientando a formação matemática de milhares de professores e estudantes a cada ano.
Eduardo Wagner
Eduardo Wagner é mestre em Matemática pelo IMPA e graduado em Engenharia Civil pela UFRJ. Professor da Fundação Getulio Vargas (FGV), é membro do Comitê Executivo da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM) e do Conselho Editorial da Revista do Professor de Matemática (RPM). Autor de inúmeros livros voltados à formação de professores e à preparação olímpica — incluindo títulos clássicos como Construções Geométricas, Trigonometria e Números Complexos e 10 Matemáticos, 100 Problemas —, Wagner é uma das vozes mais respeitadas do ensino de matemática no Brasil e ministra cursos de formação de professores promovidos pelo IMPA há décadas.
Sheila Cristina Zani
Sheila C. Zani é bacharel em Ciências Estatísticas pela ENCE, com mestrado e doutorado em Engenharia Elétrica pela PUC-Rio. Foi por décadas tecnologista do IBGE, tendo atuado em pesquisas sobre PIB municipal e indicadores socioeconômicos. Lecionou Estatística, Probabilidade e Matemática Financeira na PUC-Rio e na FGV-Rio, e participa regularmente como membro de bancas examinadoras do PROFMAT no IMPA. Sua contribuição à obra ancora o rigor estatístico e a conexão com a prática de mercado financeiro brasileiro.
Sobre a Editora SBM
A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), fundada em 1969 e sediada no Rio de Janeiro, é a principal associação científica da matemática brasileira. Sua atividade editorial sustenta coleções fundamentais para a formação matemática do país, entre elas a Coleção do Professor de Matemática — voltada especificamente à formação continuada de docentes do ensino básico —, a Coleção PROFMAT, a Coleção Olimpíadas de Matemática, a Coleção Iniciação Científica e os Textos Universitários. Publicar pela SBM significa passar por crivo editorial rigoroso, conduzido por matemáticos atuantes em universidades e institutos de pesquisa.
Perguntas Frequentes
Qual é a edição disponível deste livro?
A edição disponível é a 7ª edição, publicada pela SBM em 2022, com ISBN 978-85-8337-191-5 e 145 páginas. É a edição mais recente do livro e a que circula como referência atual em programas como o PROFMAT.
O livro serve para o ensino médio ou para a graduação?
Serve para os dois públicos, e essa é uma das características que tornaram a obra um clássico. O nível teórico é acessível ao aluno de ensino médio sério, mas o tratamento é suficientemente rigoroso — com demonstrações formais, teoremas e equações de diferenças — para sustentar disciplinas de graduação em Administração, Economia, Engenharia e Matemática.
Os exercícios têm resoluções?
Sim. O livro traz um capítulo de sugestões para os exercícios (ampliado nesta edição) e um capítulo separado com as respostas dos exercícios. Não se trata de soluções completas e desenvolvidas como em um caderno de respostas comercial — o objetivo pedagógico é orientar o leitor a construir a solução, e não substituir o trabalho do estudante.
Este livro cobre o uso da calculadora HP-12C e do Excel?
Sim, e de forma muito didática. O Apêndice 1 é um tutorial passo a passo da HP-12C, com explicação da notação polonesa reversa, uso das teclas financeiras (n, i, PV, PMT, FV) e dezenas de exemplos resolvidos. Os Apêndices 2 e 3 cobrem o Excel aplicado à matemática financeira, incluindo as funções TAXA e TIR e a construção de planilhas de amortização.
Este livro é indicado para o PROFMAT?
Sim. Progressões e Matemática Financeira é leitura recorrente em bibliografias de disciplinas e em provas de admissão do PROFMAT, particularmente quando o conteúdo envolve Matemática Discreta, Aritmética e tópicos de matemática aplicada para o ensino médio.
É o mesmo livro citado nas bibliografias do PAPMEM e da OBMEP?
Sim. Esta obra, do trio Morgado, Wagner e Zani, é a referência citada em programas de formação de professores associados ao IMPA, incluindo o PAPMEM, e aparece como leitura recomendada para estudantes que se preparam para a OBMEP e para a OBM nos tópicos de progressões.
Quanto tempo leva para o livro chegar?
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