Elementos de Topologia Geral

Descrição

Elon Lages Lima, com sua vasta experiência e profundo conhecimento, guia o leitor através da complexa temática da topologia de uma maneira única, compartilhando suas próprias percepções e entendimentos. A obra destaca-se por sua abordagem pedagógica: Lima faz questão de detalhar as demonstrações dos teoremas e discutir amplamente os exemplos apresentados, facilitando assim o entendimento dos conceitos básicos e dos resultados fundamentais. Ele utiliza exemplos e contra-exemplos para ilustrar esses conceitos, o que contribui para uma compreensão mais rica e nuanceada da matéria.

Um dos aspectos mais louváveis deste livro é a decisão consciente do autor de limitar a abstração e a generalidade. Filtros e estruturas uniformes, por exemplo, são explorados principalmente nos exercícios, enquanto os axiomas de separação são discutidos somente quando necessários. Além disso, Lima dá especial atenção aos espaços métricos, examinando-os com frequência e de forma detalhada, o que proporciona uma base sólida para o estudo de conceitos mais avançados.

Elementos de Topologia Geral não é apenas um livro-texto; é um convite à jornada pelo fascinante mundo da topologia, conduzido por um dos grandes mestres da matemática brasileira. É ideal para estudantes e profissionais da área que buscam aprofundar seus conhecimentos, oferecendo uma base robusta e uma perspectiva enriquecedora sobre o tema. Em suma, esta obra é um recurso valioso que combina rigor acadêmico com acessibilidade, tornando o estudo da topologia um desafio estimulante e gratificante.

Sumário

Preliminares

Introdução
Conjuntos
Funções
Famílias: Reunião, Interseção e Produto Cartesiano
Finito, infinito, enumerável, não enumerável
Equivalência
Ordem
Números Reais

1 Espaços Métricos

1.1 Introdução
1.2 Definição de Espaço Méico
1.3 Mais Definições e Exemplos
1.4 Pseudométrica
1.5 Exercícios

2 Funções Contínuas

2.1 Introdução
2.2 O Conceito de Função Contínua
2.3 Homeomorfismos
2.4 Métricas Equivalentes
2.5 Aplicações Lineares Contínuas
2.6 Exercícios

3 Espaços Topológicos

3.1 Introdução
3.2 Conjuntos Abertos num Espaço Métrico
3.3 Espaços Topológicos
3.4 Interior, Fronteira e Vizinhança
3.5 Conjuntos Fechados
3.6 Pontos de Acumulação
3.7 Espaços Conexos
3.8 Exercícios

4 Limites

4.1 Introdução
4.2 Limite de uma Sequência
4.3 Topologia e Convergência
4.4 Sequencias de Funções
4.5 Limite de uma Função
4.6 Convergência em Espaços Não Metrizáveis
4.7 Exercícios

5 Continuidade Uniforme

5.1 Introdução
5.2 Continuidade Uniforme
5.3 Métricas Uniformemente Equivalentes
5.4 Mudanças de Métrica e Espaços de Funções
5.5 Exercícios

6 Espaços Métricos Completos

6.1 Introdução 159
6.2 Sequencias de Cauchy
6.3 Espaços Completos
6.4 Extensão de uma Aplicação Uniformemente Contínua
6.5 Completamento de um Espaço Métrico
6.6 Espaços de Baire
6.7 O Método das Aproximações Sucessivas
6.8 Exercícios

7 Espaços Compactos

7.1 Introdução
7.2 Propriedades Gerais dos Espaços Compactos
7.3 Conjuntos Compactos no Espaço Euclidiano
7.4 Espaços Métricos Compactos
7.5 Espaços Localmente Compactos
7.6 Exercícios

8 Base Enumerável e Metrizabilidade

8.1 Introdução
8.2 Espaços Topológicos com Base Enumerável
8.3 Espaços Métricos com Base Enumerável
8.4 O Cubo de Hilbert
8.5 O Teorema de Metrização de Urysohn

9 Produtos Cartesianos Infinitos e Espaços de Funções

9.1 Introdução
9.2 Produtos Cartesianos Quaisquer
9.3 Metrizabilidade do Produto Cartesiano
9.4 Propriedades Gerais do Produto Cartesiano
9.5 Convergência Uniforme numa Família de Partes
9.6 Equicontinuidade
9.7 O Teorema de Ascoli
9.8 A Topologia Compacto-Aberta

10 Extensão de Funções Reais Contínuas

10.1 Introdução
10.2 O Teorema da Extensão de Tietze
10.3 A Compactificação de Stone-Cech