Descrição
Funções de uma Variável Complexa é uma introdução rigorosa e progressiva à teoria das funções de uma variável complexa, cobrindo desde os fundamentos dos números complexos até resultados avançados como o Teorema de Uniformização de Riemann. A obra é amplamente utilizada em cursos de graduação e pós-graduação em Matemática, Física e Engenharia, sendo reconhecida por sua clareza, profundidade e precisão matemática.
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Funções de uma Variável Complexa de Alcides Lins Neto é a escolha ideal por diversas razões. Primeiramente, a obra é fruto da vasta experiência de um dos mais renomados matemáticos brasileiros, o que garante um texto de autoridade e rigor inquestionáveis. Além disso, a publicação pelo IMPA, dentro da prestigiada Coleção Projeto Euclides, atesta a qualidade e a relevância do livro para a comunidade acadêmica. A 4ª edição, revisada e aprimorada, reafirma o compromisso do autor e da editora em oferecer um material sempre atualizado e alinhado com as melhores práticas pedagógicas. Ao adquirir este livro, você não está apenas comprando um texto didático, mas investindo em uma obra que será sua companheira por toda a sua jornada acadêmica e profissional na matemática.
Sobre a Coleção Projeto Euclides e a Editora IMPA
A Coleção Projeto Euclides, uma iniciativa do IMPA, tem como missão a publicação de textos matemáticos de alta qualidade em língua portuguesa, sendo um pilar na formação de gerações de matemáticos no Brasil. A Editora IMPA é reconhecida por seu rigoroso processo de seleção e pela excelência de suas publicações, que são referência em todo o mundo.
Sumário
1 Números Complexos
1.1 O conjuntos dos complexos como um corpo
1.1.2 Representação cartesiana e representação polar
1.1.3 Distância e desigualdades fundamentais
1.1.4 Limites de sequências
1.1.5 Limites infinitos
1.1.6 Noções fundamentais da topologia de C
1.1.7 Limites de funções
1.2 Séries de números complexos
1.2.1 Critério de Cauchy
1.2.2 Reordenação de séries
1.2.3 Famílias somáveis e séries duplas
1.3 Espaços de Funções Contínuas
1.3.1 Convergência uniforme
1.3.2 Convergência uniforme em compactos
2 Funções Analíticas
2.1 Funções holomorfas
2.1.1 Derivada real
2.1.2 Derivada complexa, funções holomorfas
2.1.3 Aplicações conformes
2.1.4 O teorema da função inversa
2.2 Séries de Potências
2.2.1 Funções definidas por séries de potências
2.2.2 Operações com séries de potências
2.3 Exponencial e Logaritmo
2.3.1 A função exponencial
2.3.2 O logaritmo complexo
2.3.3 Raízes e potências generalizadas
2.3.4 Funções trigonométricas complexas
2.4 Funções analíticas de uma variável complexa
2.4.1 Definição e exemplos
2.4.2 Zeros de uma função analítica
2.4.3 O anel das funções analíticas
3 Integração no plano complexo
3.1 Formas diferenciais
3.1.1 Definição e exemplos
3.1.2 Integração de formas diferenciais em caminhos
3.1.3 Integração de 1-formas exatas e fechadas
3.1.4 Integração de formas fechadas ao longo de caminhos contínuos
3.2 Homotopia e Integração
3.2.1 Homotopia
3.2.2 Integração de formas fechadas ao longo de caminhos homotópicos
3.2.3 Índice de um caminho fechado
3.3 Os teoremas de Jordan e de Green
3.3.1 Regiões limitadas por curvas de Jordan
3.3.2 O Teorema de Green
4 Teoria de Cauchy
4.1 O Teorema de Cauchy-Goursat
4.2.4 O princípio da reflexão de Schwarz
4.3 Séries de Laurent
4.3.1 Funções analíticas num anel
4.3.2 Singularidades isoladas de funções analíticas
4.4 Teoria dos Resíduos
4.4.1 Definição e exemplos
4.4.2 O teorema dos resíduos
4.4.3 Pólos e zeros de funções meromorfas
4.4.4 Cálculo de integrais definidas
4.5 A esfera de Riemann
4.5.1 Construções da esfera de Riemann
4.5.2 Funções holomorfas da esfera de Riemann
4.5.3 Formas diferenciais e o teorema dos resíduos em C
4.5.4 Funções racionais
5 Sequências, Séries e Produtos de Funções Holomorfas e Meromorfas
5.1 Os espaços de funções holomorfas e meromorfas
5.1.1 A topologia da convergência uniforme nas partes compactas
5.1.2 Sequências de funções meromorfas
5.1.3 Séries de funções meromorfas
5.2 Famílias normais de funções holomorfas e meromorfas
5.2.1 O Teorema de Arzela-Ascoli
5.2.2 Famílias normais de funções holomorfas
5.2.3 Famílias normais de funções meromorfas
5.3 Funções duplamente periódicas
5.3.1 Períodos de uma função meromórfa
5.3.2 Funções duplamente periódicas
5.3.3 A função P de Weierstrass
5.4 Produtos infinitos e o teorema de Weierstrass
5.4.1 Produtos infinitos numéricos
5.4.2 Produtos infinitos de funções holomorfas
5.4.3 O Teorema de Fatoração de Weierstrass
5.5 As funções Gama e Zeta
5.5.1 A função Gama
5.5.2 A função Zeta de Riemann
5.6 Aproximação de funções analíticas por funções racionais
5.6.1 O Teorema de Runge
5.6.2 O Teorema de Mittag-Leffler
6 O Teorema de Uniformização de Riemann
6.1 Equivalências conformes
6.1.1 Notações e propriedades elementares
6.1.2 Exemplos
6.2 Automorfismos de C e do disco unitário
6.2.1 Algumas propriedades das homografias
6.2.2 A razão cruzada
6.2.3 Automorfismos holomorfos do disco unitário
6.2.4 Automorfismos anti-holomorfos de C
6.3 O Teorema de Riemann
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