Descrição
Álgebra universitária com abordagem algorítmica, aplicações geométricas e bases de Gröbner
Polinômios e Computação Algébrica, de Severino Collier Coutinho, apresenta um curso de álgebra para a graduação construído em torno de problemas concretos, métodos de cálculo e aplicações. Em vez de tratar a álgebra somente como um conjunto abstrato de estruturas, o livro coloca no centro do estudo os polinômios em uma ou várias indeterminadas, os ideais, os anéis quocientes e os algoritmos que permitem trabalhar efetivamente com esses objetos. Publicada pelo IMPA, a obra é indicada para estudantes, professores e leitores que desejam compreender como conceitos algébricos se conectam à geometria, à demonstração automática de teoremas e à teoria dos grafos.
Sobre o Livro
Ao longo de nove capítulos, Polinômios e Computação Algébrica desenvolve uma visão da álgebra em que teoria e cálculo caminham juntos. A exposição parte de uma introdução histórica e geométrica, passa pelos fundamentos dos anéis de polinômios e avança até ferramentas centrais da computação algébrica, entre elas ordens monomiais, divisão em várias variáveis, bases de Gröbner e o algoritmo de Buchberger. Esse percurso ajuda o leitor a perceber não apenas o que os conceitos significam, mas também como utilizá-los para formular e resolver problemas.
Um dos diferenciais da obra é a escolha do anel de polinômios em várias indeterminadas e de seus quocientes como eixo para o estudo da álgebra. Essa perspectiva fornece uma ponte natural para a geometria algébrica, pois permite traduzir condições geométricas em equações polinomiais e investigar essas equações com procedimentos algorítmicos. O resultado é um texto que combina fundamentos, técnicas de cálculo e aplicações sem perder de vista a formação conceitual exigida no ensino superior.
A organização pedagógica favorece o estudo progressivo. Os capítulos apresentam comentários e complementos que ampliam o contexto dos resultados, enquanto as seções de exercícios criam oportunidades para consolidar definições, testar algoritmos e desenvolver argumentos matemáticos. O livro também mostra como problemas clássicos da geometria euclidiana podem ser modelados algebricamente e analisados por métodos diretos, refutacionais e de eliminação, oferecendo ao leitor uma experiência concreta do alcance da computação simbólica.
A primeira edição foi publicada pelo IMPA em 2012, tem 370 páginas e ISBN 978-85-244-0345-3. A obra integra a Coleção Matemática e Aplicações, dedicada a livros de graduação e pós-graduação que articulam técnicas matemáticas com aplicações e conexões científicas. É uma escolha especialmente relevante para quem procura um livro de álgebra com foco construtivo e computacional, sem reduzir o tema a uma simples coleção de comandos de software.
Conteúdo Programático e Tópicos Abordados
Capítulo 1 — Introdução. O percurso começa com uma aproximação histórica entre álgebra e geometria. A discussão passa por Descartes e por aspectos de A Geometria, além de problemas envolvendo as diagonais de um retângulo, as medianas de um triângulo e o problema de Papus. O capítulo também aborda o método cartesiano, referências a Apolônio, comentários, complementos e exercícios, preparando a motivação para representar situações geométricas por meio de equações.
Capítulo 2 — Polinômios e ideais: uma indeterminada. O leitor encontra os conceitos de anéis, corpos e domínios, seguidos pelo estudo dos anéis de polinômios e dos ideais. O capítulo trabalha polinômios sobre um corpo, fatoração de polinômios e fatoração pelo método de Kronecker. Comentários, complementos e exercícios ajudam a organizar os fundamentos que serão generalizados nos capítulos seguintes.
Capítulo 3 — Polinômios e ideais: várias indeterminadas. A teoria é ampliada para polinômios em múltiplas variáveis. São examinados ideais em várias indeterminadas, relações entre ideais e geometria e o conceito de radical. Essa passagem do caso univariado para o multivariado é decisiva para compreender os problemas de computação algébrica tratados posteriormente.
Capítulo 4 — Ordens monomiais e divisão. Após apresentar a motivação e a generalização do procedimento de divisão, o autor desenvolve as ordens monomiais e o algoritmo de divisão para polinômios em várias indeterminadas. A análise do algoritmo e o teorema de divisão esclarecem por que a escolha de uma ordem para os monômios é essencial no tratamento computacional de ideais polinomiais.
Capítulo 5 — Bases de Gröbner. Este núcleo da obra introduz as bases de Gröbner e suas propriedades, desenvolve o algoritmo de Buchberger e apresenta o critério de Buchberger. O capítulo também trata de bases de Gröbner reduzidas, do problema da pertinência a um ideal e de questões de complexidade. Com essas ferramentas, perguntas abstratas sobre ideais passam a admitir procedimentos explícitos de cálculo e decisão.
Capítulo 6 — Geometria Euclidiana no Plano. A aplicação dos métodos algébricos à geometria aparece em exemplos como a reta de Newton-Gauss, as diagonais de um paralelogramo, o teorema de Desargues e a circunferência de nove pontos. O texto discute a modelagem das hipóteses, o método direto, o método refutacional, a descoberta de novos teoremas, mecanismos articulados e técnicas de eliminação. Esse capítulo evidencia como a computação algébrica pode contribuir para a demonstração automática de resultados geométricos.
Capítulo 7 — Anéis quocientes e homomorfismos. A exposição percorre inteiros modulares, anéis quocientes, exemplos e homomorfismos, chegando ao teorema do homomorfismo. O capítulo inclui corpos efetivos e mostra a relação entre bases de Gröbner e cálculos efetivos, reforçando a integração entre estrutura algébrica e procedimento computacional.
Capítulo 8 — Geometria algébrica. O leitor é introduzido aos conjuntos algébricos por meio de exemplos e técnicas concretas. Entre os tópicos estão a lemniscata de Bernoulli, pontos singulares e cáusticas, conjuntos construtivos e parametrizações, sistemas de dimensão zero, contagem de pontos e radicais. O capítulo ainda aborda o método associado a Faugère, Gianni, Lazard e Mora, ampliando a discussão sobre cálculos com ideais.
Capítulo 9 — Grafos. A parte final aplica polinômios ao estudo de grafos. São discutidas formulações algébricas para coloração de grafos, cliques, unicidade da coloração e caminhos hamiltonianos. Essa conexão mostra como equações e ideais podem representar problemas combinatórios, oferecendo uma perspectiva útil para estudantes interessados nas relações entre álgebra, matemática discreta e computação.
O volume se encerra com bibliografia e índice, recursos importantes para consulta, revisão e continuidade dos estudos. Em todos os capítulos, os comentários, complementos e exercícios ajudam a transformar a leitura em um percurso de aprendizagem ativo.
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Pablo Diego Regino, Fundador e Diretor da Livros de Matemática
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