Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies

Descrição

O livro abrange tanto aspectos locais quanto globais da geometria diferencial, apresentando conceitos fundamentais com uma ênfase na álgebra linear e nos fatos geométricos básicos, ao invés de cálculos mecânicos. Cada capítulo é estruturado em torno de uma ideia central, facilitando a compreensão e o aprendizado progressivo dos temas.

O livro inclui apêndices que revisam a continuidade e diferenciabilidade, aplicações lineares auto-adjuntas e formas quadráticas, além de topologia elementar dos espaços euclidianos.

Destaques

• Prefácios detalhados das edições em inglês e português, oferecendo contexto histórico e acadêmico da obra.
• Exercícios ao final de cada capítulo para reforçar o aprendizado e aplicar os conceitos discutidos.
• Bibliografia extensa e comentários adicionais que enriquecem o conteúdo.

Para Quem é Este Livro

Ideal para estudantes de graduação e pós-graduação em matemática, este livro também é uma excelente referência para professores e pesquisadores na área de geometria diferencial. Sua abordagem clara e metódica facilita o entendimento dos conceitos complexos, tornando-o um recurso valioso para quem deseja aprofundar seus conhecimentos em geometria.

Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies é uma obra-prima que combina rigor matemático com uma didática acessível. Manfredo do Carmo oferece uma exploração profunda e bem estruturada da geometria diferencial, tornando este livro indispensável para qualquer estudante ou profissional da matemática.

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Sumário

Prefácios:

• Prefácio da edição em inglês
• Prefácio da edição em português
• Prefácio da 3ª edição em português
• Prefácio da 4ª edição em português
• Prefácio da 5ª edição em português
• Algumas observações sobre o uso deste livro

Capítulos:

1. Curvas
   • Introdução
   • Curvas Parametrizadas
   • Curvas Regulares; Comprimento de Arco
   • O produto vetorial em R3
   • Teoria Local das Curvas Parametrizadas pelo Comprimento de Arco
   • Forma Canônica Local
   • Propriedades Globais das Curvas Planas
2. Superfícies Regulares
   • Introdução
   • Superfícies Regulares; Imagens inversas de valores regulares
   • Mudança de Parâmetros; Funções Diferenciáveis sobre Superfícies
   • Plano Tangente; Diferencial de uma Aplicação
   • Primeira forma Fundamental; Área
   • Orientação de Superfícies
   • Uma Caracterização das Superfícies Compactas Orientáveis
   • Uma Definição Geométrica de Área

Apêndice: Uma Breve Revisão de Continuidade e Diferenciabilidade

3. A Geometria da Aplicação de Gauss
   • Introdução
   • A Definição da Aplicação de Gauss
   • A Aplicação de Gauss em Coordenadas Locais
   • Campos de Vetores
   • Superfícies Regradas e Superfícies Mínimas

Apêndice: Aplicações Lineares Auto-Adjuntas e Formas Quadráticas

4. Geometria Intrínseca das Superfícies
   • Introdução
   • Isometrias; Aplicações Conformes
   • O Teorema de Gauss e as Equações de Compatibilidade
   • Transporte Paralelo. Geodésicas
   • O Teorema de Gauss-Bonnet e suas Aplicações
   • Aplicação Exponencial. Coordenadas Polares Geodésicas
   • Outras Propriedades das Geodésicas; Vizinhanças Convexas

Apêndice: Demonstrações dos Teoremas Fundamentais da Teoria Local das Curvas e Superfícies

5. Geometria Diferencial Global
   • Introdução
   • A Rigidez da Esfera
   • Superfícies Completas. Teorema de Hopf-Rinow
   • Primeira e Segunda Variações do Comprimento de Arco; Teorema de Bonnet
   • Campos de Jacobi e Pontos Conjugados
   • Espaços de Recobrimento; Teoremas de Hadamard
   • Teoremas Globais para Curvas; O Teorema de Fary-Milnor
   • Superfícies com Curvatura Gaussiana Nula
   • Os Teoremas de Jacobi
   • Superfícies Abstratas; Outras Generalizações
   • O Teorema de Hilbert

Apêndice: Topologia Elementar dos Espaços Euclidianos