Equações Diferenciais Ordinárias

Descrição

O texto é enriquecido com diversos exemplos e exercícios, além de abordar tópicos adicionais raramente encontrados em outras obras, como equações diferenciais em probabilidade, o teorema de Poincaré-Hopf e uma introdução à Teoria Ergódica. A obra culmina com a demonstração da existência e unicidade de soluções e da diferenciabilidade em relação a condições iniciais e parâmetros, fornecendo quase todos os pré-requisitos necessários para a compreensão dessas provas.

Pensando nos estudantes de matemática, os autores explicam os temas com detalhes e clareza, tornando a leitura acessível e agradável.

Sobre os Autores

• Claus Ivo Doering: Graduado pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) e doutor pelo IMPA. Desde 1987, é Professor Titular do Departamento de Matemática Pura e Aplicada do Instituto de Matemática da UFRGS.

• Artur Oscar Lopes: Graduado pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) e doutor pelo IMPA. Desde 1985, é Professor Titular do Departamento de Matemática Pura e Aplicada do Instituto de Matemática da UFRGS. Suas áreas de pesquisa incluem Sistemas Dinâmicos e Teoria Ergódica. Em 2005, foi agraciado com a Comenda da Ordem Nacional do Mérito Científico e, em 2007, eleito membro titular da Academia Brasileira de Ciências.

Equações Diferenciais Ordinárias é uma obra essencial para estudantes e profissionais que desejam aprofundar seus conhecimentos em equações diferenciais. Com uma abordagem didática e conteúdo abrangente, este livro se destaca como uma referência indispensável na área.

Sumário

0. Introdução

I. Equações Diferenciais Lineares em Rⁿ

• O Oscilador Harmônico

1. Sistemas Lineares

   • 1.1. Equações Diferenciais Lineares
   • 1.2. Autovalores com Autovetores
   • 1.3. Autovalores Generalizados
   • 1.4. Classificação de Sistemas Planares
   • 1.5. Exercícios

2. Teoria Geral de Sistemas Lineares

   • 2.1. Exponencial de Matrizes
   • 2.2. Forma Canônica de Jordan Real
   • 2.3. Fluxo de uma Equação Linear
   • 2.4. Atratores Lineares
   • 2.5. Exercícios

3. Outros Tópicos

   • 3.1. Equações Lineares Não Autônomas
   • 3.2. Equações Diferenciais em Probabilidade
   • 3.3. Exercícios

II. Equações Diferenciais Não Lineares em Rⁿ

• O Pêndulo Simples

4. Campos de Vetores

   • 4.1. Trajetórias e o Fluxo
   • 4.2. Retrato de Fase
   • 4.3. Integrais Primeiras
   • 4.4. Fluxo Tubular
   • 4.5. Exercícios

5. Estabilidade de Singularidades

   • 5.1. Estabilidade de Pontos de Equilíbrio
   • 5.2. Estabilidade Assintótica
   • 5.3. O Regulador Automático de Pressão
   • 5.4. Estabilidade segundo Liapunov
   • 5.5. Exercícios

6. Conjuntos Invariantes

   • 6.1. Conjuntos Limite
   • 6.2. Os Teoremas de Poincaré e Bendixson
   • 6.3. Classificação de Órbitas Periódicas
   • 6.4. Fluxos que Preservam Volume
   • 6.5. Exercícios

7. Outros Tópicos

   • 7.1. Campos de Vetores em Superfícies
   • 7.2. Introdução à Teoria Ergódica
   • 7.3. Equilíbrio de Cadeias de Markov

III. Existência e Unicidade de Soluções

• Métricas, Normas e o Fluxo

8. Espaços Métricos

   • 8.1. Topologia dos Espaços Métricos
   • 8.2. Aplicações Contínuas em Espaços Métricos
   • 8.3. Teorema do Ponto Fixo de Contrações
   • 8.4. Completude de um Espaço de Funções

9. Espaços Normados

   • 9.1. Normas em Espaços Vetoriais
   • 9.2. Diferenciabilidade em Espaços Euclidianos
   • 9.3. Produtos Internos em Espaços Vetoriais
   • 9.4. Normas e Produtos Adaptados a Matrizes

10. Existência, Unicidade e Regularidade

    • 10.1. Método das Aproximações Sucessivas
    • 10.2. Soluções Máximas e o Fluxo de uma Equação
    • 10.3. Continuidade do Fluxo
    • 10.4. Diferenciabilidade do Fluxo