Differential Geometry of Curves and Surfaces

Descrição

O livro se destaca pelo uso de mais de 300 ilustrações coloridas, que são fundamentais para a visualização e entendimento dos conceitos abstratos. As definições e teoremas são organizados de maneira atraente, com cores diferenciadas que facilitam a leitura e a revisão do conteúdo. Tapp também inclui uma variedade de exemplos e exercícios, cobrindo tanto conceitos elementares quanto tópicos mais avançados, como os teoremas globais profundos.

Entre as aplicações fascinantes exploradas no livro, destaca-se a aplicação da geometria diferencial à cartografia, com o estudo de funções conformes e equiareais, e a introdução de evolutas, involutas e cicloides por meio da história de Christiaan Huygens. Tapp também aborda o Teorema de Clairaut, o Teorema de Green e o Pêndulo de Foucault, trazendo à tona como essas teorias geométricas se conectam com problemas reais e com a física moderna.

O autor faz um excelente trabalho ao incorporar metáforas e visualizações para motivar o conteúdo rigoroso sem sacrificar a profundidade matemática. Embora o livro não se aprofunde na aplicação da geometria diferencial à relatividade geral, ele oferece uma introdução sólida e atraente ao tópico, servindo como um trampolim para estudos mais avançados.

Em resumo, Differential Geometry of Curves and Surfaces é uma obra essencial para qualquer estudante ou profissional que queira se aprofundar no estudo da geometria diferencial. A combinação de ilustrações, exemplos práticos e um texto didático torna este livro uma referência valiosa tanto para iniciantes quanto para quem busca uma compreensão mais avançada do tema.

Sumário

Introduction
About Differential Geometry
About This Book
Prerequisites

Chapter 1. Curves

1. Parametrized Curves
2. The Inner Product (Linear Algebra Background)
3. Acceleration
4. Reparametrization
5. Curvature
6. Plane Curves
7. Space Curves
8. Rigid Motions
9. Overview of Curvature Formulas

Chapter 2. Additional Topics in Curves

1. Theorems of Hopf and Jordan
2. Convexity and the Four Vertex Theorem (Optional)
3. Fenchel’s Theorem (Optional)
4. Green’s Theorem (Calculus Background)
5. The Isoperimetric Inequality (Optional)
6. Huygens’s Tautochrone Clock (Optional)

Chapter 3. Surfaces

1. The Derivative of a Function from Rm to Rn
2. Regular Surfaces
3. Tangent Planes
4. Area Distortion and Orientation (Linear Algebra Background)
5. Orientable Surfaces
6. Surface Area
7. Isometries and the First Fundamental Form
8. Equiareal and Conformal Maps (Optional)
9. The First Fundamental Form in Local Coordinates
10. An Alternative Characterization of Regular Surfaces (Optional)

Chapter 4. The Curvature of a Surface

1. The Gauss Map
2. Self-Adjoint Linear Transformations (Linear Algebra Background)
3. Normal Curvature
4. Geometric Characterizations of Gaussian Curvature
5. The Second Fundamental Form in Local Coordinates
6. Minimal Surfaces (Optional)
7. The Fary–Milnor Theorem (Optional)

Chapter 5. Geodesics

1. Definition and Examples of Geodesics
2. The Exponential Map
3. Gauss’s Remarkable Theorem
4. Complete Surfaces
5. Parallel Transport and the Covariant Derivative
6. Geodesics in Local Coordinates
7. Gaussian Curvature Measures Infinitesimal Holonomy
8. Arc-Length Variation: Tire Tracks on a Curved Surface (Optional)
9. Jacobi Fields (Optional)

Chapter 6. The Gauss–Bonnet Theorem

1. The Local Gauss–Bonnet Theorem
2. The Global Gauss–Bonnet Theorem
3. Compact Surfaces
4. A Sampling of Other Global Theorems

Appendix A. The Topology of Subsets of Rn

1. Open and Closed Sets and Limit Points
2. Continuity
3. Connected and Path-Connected Sets
4. Compact Sets

Recommended Excursions